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Solutions des exercices
11. Produit d’une translation par une rotation
Si on choisit Ox/ /t, les coordonnées de A sont :
x = x · cos u − y · sin u + t
y = x · sin u + y · cos u
Dans un repère centré en I (centre de la rotation équivalente) on aura :
x
I = x I · cos u − y I · sin u
y
I = x I · sin u + y I · cos u
´½µ
IA” = IO + OA” IA = IO + OA
x
I = −h + x
y
I = −k + y
x I = −h + x
y I = −k + y
La résolution du système (1) donne :
h =
t
2
k =
t
2 · tg
u
2
Ces deux relations détermine la position du point I centre de la rotation équivalente
au produit d’une rotation suivie d’une translation.
Application au groupe I4.
Les translations pertinentes sont t1 = [100], t2 = [010] et t3 = ½[111] (Réseau I).
R(O, p/2) + t1 ⇒ R(A, p/2)
R(O, p/2) + t2 ⇒ R(A, p/2)
R(O, p/2) + t3 ⇒ R(F, p/2) + ½c ≡ (4 2 )
R(O, p) + t1 ⇒ R(E, p)
R(O, p) + t2 ⇒ R(F, p)
R(O, p) + t3 ⇒ R(G, p) + ½c ≡ (2 1 )
R(O, 3p/2) + t1 ⇒ R(A, 3p/2)
R(O, 3p/2) + t2 ⇒ R(A, 3p/2)
R(O, 3p/2) + t3 ⇒ R(E, p/2) + ½c ≡ (4 2 )