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Exercices
11. On considère un axe de symétrie d’ordre p, normal en O au plan de figure. Montrer qu’une rotation d’angle 2p/p et de centre O, R(O, u) suivie d’une translation t
perpendiculaire à l’axe de rotation est équivalente à une rotation R(I, u)
A
R(O,u)
−−−→ A
t
− → A
A
R(I,u)
− −− → A
On pourra choisir l’axe Ox parallèle à t et utiliser la matrice de rotation :
cos u − sin u
sin u
cos u
puis déterminer les coordonnées du point I dans le plan xOy.
Application : Étude du groupe I4.
– Quelles sont les 3 translations de réseau qui permettent de générer le groupe ?
– En utilisant le théorème démontré ci-dessus, indiquer quels sont les éléments de
symétrie obtenus en composant la rotation d’ordre 4 avec les translations du réseau. Rappel : Axe 4 = R(O, p/2) ; R(O, p) ; R(O, 3p/2) ; Identité.
– Tracer sur (001) la projection des éléments de symétrie du groupe et indiquer les
positions équivalentes.
12. Construire le groupe I4 1 /a.
13. Montrer qu’un réseau tétragonal C est équivalent à un réseau tétragonal P.
– Montrer qu’un réseau monoclinique F est équivalent au réseau monoclinique C.
– Montrer qu’un hypothétique réseau hexagonal F est en fait un réseau orthorhombique I.
14. Exprimer la matrice rotation autour de Oz dans un réseau hexagonal.
Facteur de structure
1. Le diamant cristallise dans le système cubique F (faces centrées) avec 8 atomes
par maille élémentaire (0, 0, 0) et (¼, ¼, ¼) + translations faces centrées.
Préciser les coordonnées réduites des 8 atomes de la maille du diamant.
Déterminer les valeurs de h pour lesquelles les réflexions (hhh) présentent une extinction systématique.
Exercices
11. On considère un axe de symétrie d’ordre p, normal en O au plan de figure. Montrer qu’une rotation d’angle 2p/p et de centre O, R(O, u) suivie d’une translation t
perpendiculaire à l’axe de rotation est équivalente à une rotation R(I, u)
A
R(O,u)
−−−→ A
t
− → A
A
R(I,u)
− −− → A
On pourra choisir l’axe Ox parallèle à t et utiliser la matrice de rotation :
cos u − sin u
sin u
cos u
puis déterminer les coordonnées du point I dans le plan xOy.
Application : Étude du groupe I4.
– Quelles sont les 3 translations de réseau qui permettent de générer le groupe ?
– En utilisant le théorème démontré ci-dessus, indiquer quels sont les éléments de
symétrie obtenus en composant la rotation d’ordre 4 avec les translations du réseau. Rappel : Axe 4 = R(O, p/2) ; R(O, p) ; R(O, 3p/2) ; Identité.
– Tracer sur (001) la projection des éléments de symétrie du groupe et indiquer les
positions équivalentes.
12. Construire le groupe I4 1 /a.
13. Montrer qu’un réseau tétragonal C est équivalent à un réseau tétragonal P.
– Montrer qu’un réseau monoclinique F est équivalent au réseau monoclinique C.
– Montrer qu’un hypothétique réseau hexagonal F est en fait un réseau orthorhombique I.
14. Exprimer la matrice rotation autour de Oz dans un réseau hexagonal.
Facteur de structure
1. Le diamant cristallise dans le système cubique F (faces centrées) avec 8 atomes
par maille élémentaire (0, 0, 0) et (¼, ¼, ¼) + translations faces centrées.
Préciser les coordonnées réduites des 8 atomes de la maille du diamant.
Déterminer les valeurs de h pour lesquelles les réflexions (hhh) présentent une extinction systématique.