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19 • La réflectivité des rayons X
0
1
2
Substrat
Air
h
Figure 19.12 Représentation schématique d’un matériau
à une couche d’épaisseur h.
et le coefficient de réflexion :
r =
M 12
M 22
=
m 1,2 p 0,1 e −i k1zh + m 0,1 p 1,2 e
i k1zh
m 1,2 m 0,1 e −i kz1h + p 1,2 p 0,1 e i kz1h .
En divisant en haut et en bas par p 0 p 1 et en introduisant les coefficients de réflexion
r i−1,i =
m i−1,i
p i−1,i
des deux dioptres 1 et 2, il vient :
r =
r 0,1 + r 1,2 e −2i k1zh
1 + r 0,1 r 1,2 e −2i k1zh
Nous remarquons que le produit r 01 r 12 présent au dénominateur de cette équation
reflète l’existence de réflexions multiples qui se produisent aux interfaces 1 et 2.
Le coefficient de transmission en amplitude t est égal à 1/M 22 et s’écrit en fonction
des coefficients de transmission t i−1,i = 1/p i−1,i
t =
t 0,1 t 1,2 e −2i k1zh
1 + r 0,1 r 1,2 e −2i k1zh
L’intensité réfléchie est obtenue en calculant le carré du module du coefficient de
réflexion, soit :
R =
r
2
1,2 + r
2
0,1 + 2r 0,1 r 1,2 cos 2k 1z h
1 + r 2
0,1 r 2
1,2 + 2r 0,1 r 1,2 cos 2k 1z h
La présence des termes en cosinus montre que l’intensité réfléchie ne varie pas de
façon monotone mais subit des variations périodiques tous les 2k 1z h = q z1 h = 2pp,
ce qui, en explicitant q z1 , conduit à :
q z1 = q z
1 −
q
2
c
q 2
z
=
2pp
h
et correspond aux positions dans le réseau réciproque des oscillations de la courbe
de réflectivité dès que q z q c .
La présence d’oscillations dans la courbe de réflectivité s’explique également en
considérant que l’intensité réfléchie provient des interférences entre les ondes réfléchies par les dioptres 1 et 2. Pour qu’elles interfèrent de façon constructive, il faut
19 • La réflectivité des rayons X
0
1
2
Substrat
Air
h
Figure 19.12 Représentation schématique d’un matériau
à une couche d’épaisseur h.
et le coefficient de réflexion :
r =
M 12
M 22
=
m 1,2 p 0,1 e −i k1zh + m 0,1 p 1,2 e
i k1zh
m 1,2 m 0,1 e −i kz1h + p 1,2 p 0,1 e i kz1h .
En divisant en haut et en bas par p 0 p 1 et en introduisant les coefficients de réflexion
r i−1,i =
m i−1,i
p i−1,i
des deux dioptres 1 et 2, il vient :
r =
r 0,1 + r 1,2 e −2i k1zh
1 + r 0,1 r 1,2 e −2i k1zh
Nous remarquons que le produit r 01 r 12 présent au dénominateur de cette équation
reflète l’existence de réflexions multiples qui se produisent aux interfaces 1 et 2.
Le coefficient de transmission en amplitude t est égal à 1/M 22 et s’écrit en fonction
des coefficients de transmission t i−1,i = 1/p i−1,i
t =
t 0,1 t 1,2 e −2i k1zh
1 + r 0,1 r 1,2 e −2i k1zh
L’intensité réfléchie est obtenue en calculant le carré du module du coefficient de
réflexion, soit :
R =
r
2
1,2 + r
2
0,1 + 2r 0,1 r 1,2 cos 2k 1z h
1 + r 2
0,1 r 2
1,2 + 2r 0,1 r 1,2 cos 2k 1z h
La présence des termes en cosinus montre que l’intensité réfléchie ne varie pas de
façon monotone mais subit des variations périodiques tous les 2k 1z h = q z1 h = 2pp,
ce qui, en explicitant q z1 , conduit à :
q z1 = q z
1 −
q
2
c
q 2
z
=
2pp
h
et correspond aux positions dans le réseau réciproque des oscillations de la courbe
de réflectivité dès que q z q c .
La présence d’oscillations dans la courbe de réflectivité s’explique également en
considérant que l’intensité réfléchie provient des interférences entre les ondes réfléchies par les dioptres 1 et 2. Pour qu’elles interfèrent de façon constructive, il faut