17.1 Diffraction par des structures quelconques
225
Le pouvoir diffusant moyen est la somme des moyennes :
I N (S) =
N
1
f
2
n +
n =n
f n · f n · cos 2p · S · Ö nn
Pour calculer la valeur moyenne on peut poser a = {S, r nn } et b l’angle entre les
normales à un plan de référence arbitraire et au plan S · r nn
cos 2p · S·r nn =
2p
0
db
2p
p
0
cos(2p·S·r nn ·cos a)·2p·sin a·da =
sin (2p · S·r nn )
2p · S·r nn
I N (S) =
N
1
N
1
f n · f n
sin(2p · S · r nn )
2p · S · r nn
.
Dans cette relation, seules interviennent les longueurs des vecteurs interatomiques. Le maximum se produit pour S
∗
= 0 et on trouve des maxima secondaires
pour S · r nn = 1, 2295 ; 2, 2387 ; 3, 242 . . . (zéros de tg(u) − u.)
Le calcul de cette série donne l’intensité des raies du diagramme de poudre mais il
n’est pas trivial de montrer qu’elle est formellement équivalente, pour un cristal, à
l’expression classique de l’intensité diffractée.
17.1.6 Diffraction des rayons X par les corps amorphes
a) Gaz parfaits
➤ Gaz monoatomiques
La fonction de répartition p(r) est toujours égale à 1 car la probabilité de trouver
un atome en un point donné est constante par hypothèse : p(r) = 1/v 0 + d(r). La
fonction d’interférence est toujours égale à 1 et le pouvoir diffusant est égal au carré
du facteur de diffusion atomique. Il n’y a aucun effet d’interférence. Il faut aussi tenir
compte de la diffusion incohérente (Compton). Pour un gaz, les deux effets sont du
même ordre de grandeur mais si pour la diffusion cohérente, l’intensité décroît avec
u, c’est l’inverse qui se produit pour la diffusion incohérente.
➤ Gaz polyatomiques
Pour un gaz diatomique avec des atomes distants de a et dont le facteur de diffusion
atomique est f, la formule de Debye donne :
I N (S) = 2 · f
2
·
1 +
sin(2p · S · a)
2p · S · a
.
Aux petits angles, l’intensité vaut 4 f
2 (effet d’interférence) et tend pour les grands
angles vers 2 f
2 , ce qui correspond aux molécules dissociées. On devrait observer
sur la courbe I(u) des oscillations, avec un premier maximum pour un angle u 0 tel
que 2 a · sin u 0 ≈ 1, 23l. En fait, les oscillations sont amorties et déplacées par la
décroissance de f avec u et par la diffusion incohérente. Pour les gaz polyatomiques,
la courbe d’intensité de diffraction s’obtient en sommant les contributions de chaque
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Le pouvoir diffusant moyen est la somme des moyennes :
I N (S) =
N
1
f
2
n +
n =n
f n · f n · cos 2p · S · Ö nn
Pour calculer la valeur moyenne on peut poser a = {S, r nn } et b l’angle entre les
normales à un plan de référence arbitraire et au plan S · r nn
cos 2p · S·r nn =
2p
0
db
2p
p
0
cos(2p·S·r nn ·cos a)·2p·sin a·da =
sin (2p · S·r nn )
2p · S·r nn
I N (S) =
N
1
N
1
f n · f n
sin(2p · S · r nn )
2p · S · r nn
.
Dans cette relation, seules interviennent les longueurs des vecteurs interatomiques. Le maximum se produit pour S
∗
= 0 et on trouve des maxima secondaires
pour S · r nn = 1, 2295 ; 2, 2387 ; 3, 242 . . . (zéros de tg(u) − u.)
Le calcul de cette série donne l’intensité des raies du diagramme de poudre mais il
n’est pas trivial de montrer qu’elle est formellement équivalente, pour un cristal, à
l’expression classique de l’intensité diffractée.
17.1.6 Diffraction des rayons X par les corps amorphes
a) Gaz parfaits
➤ Gaz monoatomiques
La fonction de répartition p(r) est toujours égale à 1 car la probabilité de trouver
un atome en un point donné est constante par hypothèse : p(r) = 1/v 0 + d(r). La
fonction d’interférence est toujours égale à 1 et le pouvoir diffusant est égal au carré
du facteur de diffusion atomique. Il n’y a aucun effet d’interférence. Il faut aussi tenir
compte de la diffusion incohérente (Compton). Pour un gaz, les deux effets sont du
même ordre de grandeur mais si pour la diffusion cohérente, l’intensité décroît avec
u, c’est l’inverse qui se produit pour la diffusion incohérente.
➤ Gaz polyatomiques
Pour un gaz diatomique avec des atomes distants de a et dont le facteur de diffusion
atomique est f, la formule de Debye donne :
I N (S) = 2 · f
2
·
1 +
sin(2p · S · a)
2p · S · a
.
Aux petits angles, l’intensité vaut 4 f
2 (effet d’interférence) et tend pour les grands
angles vers 2 f
2 , ce qui correspond aux molécules dissociées. On devrait observer
sur la courbe I(u) des oscillations, avec un premier maximum pour un angle u 0 tel
que 2 a · sin u 0 ≈ 1, 23l. En fait, les oscillations sont amorties et déplacées par la
décroissance de f avec u et par la diffusion incohérente. Pour les gaz polyatomiques,
la courbe d’intensité de diffraction s’obtient en sommant les contributions de chaque