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10 • Diffraction des rayons X
10.3.3 Diffusion des rayons X par un cristal
Dans un cristal, on admet que la densité électronique r(r) est la superposition des
densités électroniques individuelles r i (r
), centrées sur les points r i , des atomes
constituant le cristal :
r(r) =
Cristal
i
r i (r − r i )
La relation donnant l’amplitude diffractée :
A S = A él ·
Échant.
r(r) · e
j2·p·r·S
·dv r
devient alors (V = (a, b, c) = V
∗−1 ) :
A S = A él
i
r i (r−r i )·e
j2·p·r·S
·dv r =
A él
V
i
r i (R i ) · e
j2·p·R i .S
· dv R i
·e
j2·p.r i ·S
Dans un cristal la densité électronique est tripériodique. Si a, b et c sont les vecteurs de base du réseau, on a :
r(r) = r(r + u · a + v · b + w · c) avec r = x · a + y · b + z · c
(u, v, w entiers et 0 x, y, z < 1.)
L’expression de A S peut donc également s’écrire :
A S =
A él
V
cristal
maille
r(r) · e
j2·p·r·S
· dv r
· e
j2·p·(u·a+v·b+w·c)·S
´´µ
Si l’on pose :
F S =
A él
V
maille
r(r) · e
j2·p·r·S
· dv r
´½¼µ
et si m, n, p sont les nombres de mailles suivant Ox, Oy et Oz, on tire :
A S = F S ·
m
u=1
e
j2·p·u·a·S
·
n
v=1
e
j2·p·v·b·S
·
p
w=1
e
j2·p·w·c·S
´½½µ
Chaque somme vaut : A q (a i · S) =
sin p · q · a i · S
sin p · a i · S
La fonction F S qui est la transformée de Fourier de la densité électronique d’une
maille s’appelle le facteur de structure.
L’intensité diffractée est donc :
I = F s
2
· A
2
m (a · S) · A
2
n (b · S) · A
2
p (c · S) = F s
2
· L
2
´½¾µ
On retrouve ainsi le résultat général énoncé au paragraphe 10.1.2 :
La figure de diffraction d’une structure périodique est égale au produit de la figure
de diffraction du motif par une fonction caractéristique de la seule périodicité de la
structure.