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7 • Groupes d’espace
Soient a 1 , a 2 et a 3 les vecteurs de réseau qui définissent le plan de symétrie considéré. La condition d’existence de l’élément de symétrie translatoire s’écrit :
[R] · t = T = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3
Pour un miroir on a : [R] = s + E. Supposons que le miroir soit un plan (001) ; la
représentation matricielle de [R] est donc :
[R] =
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎟
⎠ +
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
2 0 0
0 2 0
0 0 0
⎞
⎟
⎠
Or t = a · a 1 + b · a 2 (vecteur parallèle au plan (001))
[R]·t =
⎛
⎜
⎝
2 0 0
0 2 0
0 0 0
⎞
⎟
⎠·
⎛
⎜
⎝
a · a 1
b · a 2
0
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
2a · a 1
2b · a 2
0
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
n 1 · a 1
n 2 · a 2
0
⎞
⎟
⎠ ⇒ 2a = n 1 , 2b = n 2
On peut imposer les conditions 0 (n 1 , n 2 ) < 1 car on ne distingue pas des translations entières de réseau. Les translations possibles pour les miroirs de glissement
parallèles à (001) seront donc :
t = 0 , t =
a 1
2
, t =
a 2
2
, t =
a 1 + a 2
2
Cette étude doit être effectuée pour toutes les orientations de miroir autorisées par
la symétrie ponctuelle. Il faut également tenir compte des translations non entières
de réseau permises dans certains modes de Bravais. En particulier pour les réseaux
orthorhombiques F, tétragonaux I, cubiques F et I, il faut aussi considérer les translations dites de type « diamant » égales à :
t
1
F = 1 / 4 (a + b), t
2
F = 1 / 4 (c + b), t
3
F = 1 / 4 (a + c), t I = 1 / 4 (a + b + c).
Les divers types de miroirs possibles sont regroupés dans le tableau page suivante.
Les miroirs a et b sont représentés par des tirets, les c par des pointillés, les n
par des tirets-points et les d par des tirets-points avec une flèche. La cote des miroirs parallèles à (001) ne figure sur les projections que si elle est différente de
zéro.
Dans la dernière édition des Tables internationales, on trouve d’autres symboles
spécifiques pour les miroirs obliques des groupes cubiques.
7 • Groupes d’espace
Soient a 1 , a 2 et a 3 les vecteurs de réseau qui définissent le plan de symétrie considéré. La condition d’existence de l’élément de symétrie translatoire s’écrit :
[R] · t = T = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3
Pour un miroir on a : [R] = s + E. Supposons que le miroir soit un plan (001) ; la
représentation matricielle de [R] est donc :
[R] =
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎟
⎠ +
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
2 0 0
0 2 0
0 0 0
⎞
⎟
⎠
Or t = a · a 1 + b · a 2 (vecteur parallèle au plan (001))
[R]·t =
⎛
⎜
⎝
2 0 0
0 2 0
0 0 0
⎞
⎟
⎠·
⎛
⎜
⎝
a · a 1
b · a 2
0
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
2a · a 1
2b · a 2
0
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
n 1 · a 1
n 2 · a 2
0
⎞
⎟
⎠ ⇒ 2a = n 1 , 2b = n 2
On peut imposer les conditions 0 (n 1 , n 2 ) < 1 car on ne distingue pas des translations entières de réseau. Les translations possibles pour les miroirs de glissement
parallèles à (001) seront donc :
t = 0 , t =
a 1
2
, t =
a 2
2
, t =
a 1 + a 2
2
Cette étude doit être effectuée pour toutes les orientations de miroir autorisées par
la symétrie ponctuelle. Il faut également tenir compte des translations non entières
de réseau permises dans certains modes de Bravais. En particulier pour les réseaux
orthorhombiques F, tétragonaux I, cubiques F et I, il faut aussi considérer les translations dites de type « diamant » égales à :
t
1
F = 1 / 4 (a + b), t
2
F = 1 / 4 (c + b), t
3
F = 1 / 4 (a + c), t I = 1 / 4 (a + b + c).
Les divers types de miroirs possibles sont regroupés dans le tableau page suivante.
Les miroirs a et b sont représentés par des tirets, les c par des pointillés, les n
par des tirets-points et les d par des tirets-points avec une flèche. La cote des miroirs parallèles à (001) ne figure sur les projections que si elle est différente de
zéro.
Dans la dernière édition des Tables internationales, on trouve d’autres symboles
spécifiques pour les miroirs obliques des groupes cubiques.