Exercices
c) On considère le cas où l’énergie de la particule M est E =
A
9
et se trouve, à un
certain instant, à la position x = 1,5 · a. Quelle énergie faut-il apporter à la particule
pour la « libérer » ? Quelle est alors la vitesse de la particule à l’infini ?
2.8 Un chariot de manège, glissant sans frottement sur des rails, arrive sur une
boucle verticale circulaire de rayon R. De quelle hauteur doit-il être lâché, sans vitesse
initiale, pour pouvoir faire le tour de la boucle ?
a) Envisager le cas où le chariot ne peut pas se décrocher des rails.
b) Envisager le cas où le chariot n’est pas retenu.
2.9 a) Trouver la valeur minimale de la vitesse d’un objet de masse m, nécessaire
pour quitter la surface de la Terre sans y retourner (appelée vitesse de libération) ?
Données : M T = 6 · 10
24 kg (masse de la Terre) ; R T = 6 400 km (rayon de la Terre) ;
G = 6,67 · 10
–11 m
3 · s
–2 · kg
–1 (constante de gravitation).
b) Quelle serait cette vitesse de libération sur la Lune ?
Données : M T ≈ 81 · M L (M L = masse de la Lune) ; R T ≈ 3,7 · R L (R L = rayon de
la Lune).
c) Quelle vitesse doit-on communiquer à une fusée de masse m pour qu’elle parvienne
sur la Lune ? On ne tient pas compte de la rotation relative des deux astres.
Donnée : d TL ≈ 60 · R T (d TL = distance Terre-Lune).
2.10 Dans un référentiel R galiléen de base cartésienne(O, #– u x , #– u y , #– u z ), un pendule
simple est constitué d’une masse ponctuelle m liée à une tige rigide de longueur L de
masse négligeable, mobile autour de l’axe horizontal #– u z . On écarte le pendule d’un
angle u (dans le sens trigonométrique) par rapport à l’axe vertical #– u x (quand le pendule
est à l’équilibre à la verticale, u = 0). On lâche le pendule et on néglige les frottements
avec l’air et les frottements de la tige sur son axe de rotation.
a) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, trouver l’équation différentielle du mouvement.
b) En supposant une amplitude de mouvement faible (c’est-à-dire u petit, donc
sin u ≈ u), trouver la solution de cette équation différentielle, sous la forme u(t).
Préciser à quoi correspondent la pulsation et la période du mouvement.
c) Retrouver ces mêmes résultats en considérant la conservation de l’énergie mécanique.
2.11 Un ion He
+ (hélium) de masse m et de vitesse #– v 0 entre en collision avec un
atome d’hélium au repos. On suppose que les masses de l’ion et de l’atome sont identiques. Après la collision, l’ion a une vitesse #– v 1 faisant un angle de 30
avec #– v 0 et
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
63
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 63 — #73
i
i
i
i
c) On considère le cas où l’énergie de la particule M est E =
A
9
et se trouve, à un
certain instant, à la position x = 1,5 · a. Quelle énergie faut-il apporter à la particule
pour la « libérer » ? Quelle est alors la vitesse de la particule à l’infini ?
2.8 Un chariot de manège, glissant sans frottement sur des rails, arrive sur une
boucle verticale circulaire de rayon R. De quelle hauteur doit-il être lâché, sans vitesse
initiale, pour pouvoir faire le tour de la boucle ?
a) Envisager le cas où le chariot ne peut pas se décrocher des rails.
b) Envisager le cas où le chariot n’est pas retenu.
2.9 a) Trouver la valeur minimale de la vitesse d’un objet de masse m, nécessaire
pour quitter la surface de la Terre sans y retourner (appelée vitesse de libération) ?
Données : M T = 6 · 10
24 kg (masse de la Terre) ; R T = 6 400 km (rayon de la Terre) ;
G = 6,67 · 10
–11 m
3 · s
–2 · kg
–1 (constante de gravitation).
b) Quelle serait cette vitesse de libération sur la Lune ?
Données : M T ≈ 81 · M L (M L = masse de la Lune) ; R T ≈ 3,7 · R L (R L = rayon de
la Lune).
c) Quelle vitesse doit-on communiquer à une fusée de masse m pour qu’elle parvienne
sur la Lune ? On ne tient pas compte de la rotation relative des deux astres.
Donnée : d TL ≈ 60 · R T (d TL = distance Terre-Lune).
2.10 Dans un référentiel R galiléen de base cartésienne(O, #– u x , #– u y , #– u z ), un pendule
simple est constitué d’une masse ponctuelle m liée à une tige rigide de longueur L de
masse négligeable, mobile autour de l’axe horizontal #– u z . On écarte le pendule d’un
angle u (dans le sens trigonométrique) par rapport à l’axe vertical #– u x (quand le pendule
est à l’équilibre à la verticale, u = 0). On lâche le pendule et on néglige les frottements
avec l’air et les frottements de la tige sur son axe de rotation.
a) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, trouver l’équation différentielle du mouvement.
b) En supposant une amplitude de mouvement faible (c’est-à-dire u petit, donc
sin u ≈ u), trouver la solution de cette équation différentielle, sous la forme u(t).
Préciser à quoi correspondent la pulsation et la période du mouvement.
c) Retrouver ces mêmes résultats en considérant la conservation de l’énergie mécanique.
2.11 Un ion He
+ (hélium) de masse m et de vitesse #– v 0 entre en collision avec un
atome d’hélium au repos. On suppose que les masses de l’ion et de l’atome sont identiques. Après la collision, l’ion a une vitesse #– v 1 faisant un angle de 30
avec #– v 0 et
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
63
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 63 — #73
i
i
i
i