SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre 17
de variation d’énergie cinétique → pas d’accélération.
b) Théorème de l’énergie cinétique : DE c = eU
d’où v B =
v 2
A +
2eU
m
.
c) La force magnétique est suivant #– u y et le mouvement reste dans le plan
#– u x , #– u y
; dans le
repère de Frenet, on a :
#–
F = q · #– v ∧
#–
B = m
dv
dt
· #– u t +
v
2
R
· #– u n
d’où
dv
dt
= 0 et R =
mv
eB
II. a) t =
pR
v
=
pm
eB
, et f =
1
2t
=
eB
2pm
b) v 0 est négligeable, d’où v n =
n ·
2eU
m
et
R n =
mv n
eB
=
1
B
n ·
2mU
e
Pour N = 10, n = 20 et R 20 = 19,3 cm.
c) R = 35 cm , d’où N = 33 tours, E c = 13,2 MeV
et t = 1,4 ms.
17.2 a) v v 0 :
1
2 ·mv
2 = qU d’où v =
2qU
m
et x = 2R = 2 ·
mv
q B
=
2
B
2mU
q
b) a max = Dx =
2
B
2U
q
√
m 2 −
√
m 1
= 1, 24 mm
17.3 On a B =
m 0
2
·
I
R
, d’où R =
m 0
2
·
I
B
= 25 cm.
17.4 D’après le principe de superposition,
B(C) =
I .m 0
4
.
1
R 1
−
1
R 2
= 4,7 mT.
17.5 Le champ magnétique créé par un fil infini
en un point M situé à une distance D de ce fil
vaut :
#–
B (M) =
m 0
2p
·
I
D
· # –
u f ; on en déduit :
D =
m 0
2p
·
I
B
= 1, 67 cm.
17.6 Le champ magnétique créé au centre C
de la spire par chacun des côtés du carré a la
même direction, le même sens et la même intensité ; la distance D entre C et un côté du carré
vaut D = a/2 ; le champ créé au point C par un
côté de la spire vaut
#–
B (C) =
m 0
ap
√
2
·
I
D
·
#–
k où
#–
k
est un vecteur unitaire, normal au plan de la spire,
et dont le sens dépend du sens de circulation du
courant dans la spire (il peut être déterminé par
la loi de Biot et Savart) ; on en déduit le champ
total créé en C :
# –
B total (M) = 4 ·
#–
B (C) =
m 0
pa
I · 2
√
2 ·
#–
k
17.7 a) Les 4 points P 1 , P 2 , P 3 , P 4 sont à l’intérieur du carré ; le contour du carré est orienté dans
le sens des aiguilles d’une montre et le sens positif de la normale à une surface simple s’appuyant
sur ce contour est celui de − #–
u z (voir le § 17.3.2).
D’après le théorème d’Ampère, la circulation ˆ
C
du champ magnétique le long du contour ABCDA
vaut ˆ
C = m 0 · (– I + 2I – 3I + 4I) = 2m 0 I.
b) C’est la même car les 4 points P 1 , P 2 , P 3 , P 4
sont aussi à l’intérieur du cercle dans lequel est
inscrit le carré et le calcul précédent est indépendant de la forme du contour (pourvu que l’orientation du contour reste la même).
17.8 On a
#–
B (M) =
m 0
2p
·
I
d
· # –
u f , le vecteur
# –
u f correspondant au vecteur # –
u f de la base associée aux coordonnées cylindriques dont l’axe
(Oz) coïncide avec l’axe du fil, le sens positif
étant celui du sens du courant. On a alors B(M)
= 2 · 10
–8 T.
17.9 a) La norme B(M) dépend a priori de r et
z mais est indépendante de w car la distribution
de courants est invariante par rotation d’angle w
autour de l’axe Oz.
b) D’après les lignes de champ,
#–
B (M) est colinéaire et dans le même sens que le vecteur # –
u f .
c) Un contour d’Ampère bien adapté au problème est donc un cercle de centre O et de
rayon r.
d) Pour a < r < b, on a I int = N i et B =
N im 0
2pr
.
614
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 614 — #624
i
i
i
i
Chapitre 17
de variation d’énergie cinétique → pas d’accélération.
b) Théorème de l’énergie cinétique : DE c = eU
d’où v B =
v 2
A +
2eU
m
.
c) La force magnétique est suivant #– u y et le mouvement reste dans le plan
#– u x , #– u y
; dans le
repère de Frenet, on a :
#–
F = q · #– v ∧
#–
B = m
dv
dt
· #– u t +
v
2
R
· #– u n
d’où
dv
dt
= 0 et R =
mv
eB
II. a) t =
pR
v
=
pm
eB
, et f =
1
2t
=
eB
2pm
b) v 0 est négligeable, d’où v n =
n ·
2eU
m
et
R n =
mv n
eB
=
1
B
n ·
2mU
e
Pour N = 10, n = 20 et R 20 = 19,3 cm.
c) R = 35 cm , d’où N = 33 tours, E c = 13,2 MeV
et t = 1,4 ms.
17.2 a) v v 0 :
1
2 ·mv
2 = qU d’où v =
2qU
m
et x = 2R = 2 ·
mv
q B
=
2
B
2mU
q
b) a max = Dx =
2
B
2U
q
√
m 2 −
√
m 1
= 1, 24 mm
17.3 On a B =
m 0
2
·
I
R
, d’où R =
m 0
2
·
I
B
= 25 cm.
17.4 D’après le principe de superposition,
B(C) =
I .m 0
4
.
1
R 1
−
1
R 2
= 4,7 mT.
17.5 Le champ magnétique créé par un fil infini
en un point M situé à une distance D de ce fil
vaut :
#–
B (M) =
m 0
2p
·
I
D
· # –
u f ; on en déduit :
D =
m 0
2p
·
I
B
= 1, 67 cm.
17.6 Le champ magnétique créé au centre C
de la spire par chacun des côtés du carré a la
même direction, le même sens et la même intensité ; la distance D entre C et un côté du carré
vaut D = a/2 ; le champ créé au point C par un
côté de la spire vaut
#–
B (C) =
m 0
ap
√
2
·
I
D
·
#–
k où
#–
k
est un vecteur unitaire, normal au plan de la spire,
et dont le sens dépend du sens de circulation du
courant dans la spire (il peut être déterminé par
la loi de Biot et Savart) ; on en déduit le champ
total créé en C :
# –
B total (M) = 4 ·
#–
B (C) =
m 0
pa
I · 2
√
2 ·
#–
k
17.7 a) Les 4 points P 1 , P 2 , P 3 , P 4 sont à l’intérieur du carré ; le contour du carré est orienté dans
le sens des aiguilles d’une montre et le sens positif de la normale à une surface simple s’appuyant
sur ce contour est celui de − #–
u z (voir le § 17.3.2).
D’après le théorème d’Ampère, la circulation ˆ
C
du champ magnétique le long du contour ABCDA
vaut ˆ
C = m 0 · (– I + 2I – 3I + 4I) = 2m 0 I.
b) C’est la même car les 4 points P 1 , P 2 , P 3 , P 4
sont aussi à l’intérieur du cercle dans lequel est
inscrit le carré et le calcul précédent est indépendant de la forme du contour (pourvu que l’orientation du contour reste la même).
17.8 On a
#–
B (M) =
m 0
2p
·
I
d
· # –
u f , le vecteur
# –
u f correspondant au vecteur # –
u f de la base associée aux coordonnées cylindriques dont l’axe
(Oz) coïncide avec l’axe du fil, le sens positif
étant celui du sens du courant. On a alors B(M)
= 2 · 10
–8 T.
17.9 a) La norme B(M) dépend a priori de r et
z mais est indépendante de w car la distribution
de courants est invariante par rotation d’angle w
autour de l’axe Oz.
b) D’après les lignes de champ,
#–
B (M) est colinéaire et dans le même sens que le vecteur # –
u f .
c) Un contour d’Ampère bien adapté au problème est donc un cercle de centre O et de
rayon r.
d) Pour a < r < b, on a I int = N i et B =
N im 0
2pr
.
614
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 614 — #624
i
i
i
i