SOLUTIONS DES EXERCICES
La production d’entropie dans le système représente le bilan :
S p = DS − S e = mc
T 1
T 2
− 1 + ln
T 2
T 1
Les applications numériques donnent DS = –
111 J · K
–1 , S e = – 126 J · K
–1 et S p = 15 J · K
–1 .
L’entropie produite étant positive, la transformation est effectivement irréversible.
8.2 Le volume final s’obtient en utilisant la relation de Laplace faisant intervenir P et V :
P 1 V
g
1 = P 2 V
g
2
soit V 2 = V 1
P 1
P 2
1
g
d’où V 2 = 5,16 · 10
3 m
3 (5,16 L)
Le travail des forces de pression est donné directement par la relation :
W =
P 2 V 2 − P 1 V 1
g − 1
d’où W = 830 J
La variation d’énergie interne DU s’obtient grâce
au premier principe, sachant que Q = 0 :
DU = W soit DU = 830 J
Enfin, l’élévation de température du gaz (parfait)
DT est fournie par l’énergie interne :
DU = nC V DT avec n =
m
M
soit DT =
M DU
m C V
d’où DT = 132 K.
8.3 On calcule d’abord le volume massique
du mélange soit v 1 = V 1 /m = 0,1 m
3 · kg
–1
(cette valeur est comprise entre v l et v v : c’est
bien un mélange liquide-vapeur). On détermine ensuite le titre en vapeur x =
v − v l
v v − v l
x =
0,1 − 0,001127
0,19444 − 0,001127
x = 0,51 (51 %).
La masse de vapeur se calcule enfin comme suit :
m v = xm d’où m = 0,51 × 0,1 = 0,051 kg (une
autre méthode consiste à négliger le volume du
liquide devant celui de la vapeur, ainsi on a directement m v = V 1 /v v = 0,1/0,19444 = 0,051 kg).
La température reste constante pendant toute la
vaporisation : elle est donnée directement par la
table soit u 0 = 179,9
◦ C. Le volume final est
alors occupé uniquement par de la vapeur donc
V 2 = mv v = 0,1 × 0,19444 = 0,01944 m
3 soit
V 2 = 19,4 L.
La chaleur échangée est Q = m(h 2 –
h 1 ) où h 1 = (1 – x)h l + xh v = (1 – 0,51) ×
762,81 + 0,51 × 2 778,1 = 1 790,6 kJ · kg
–1
et h 2 = 2 778,1 kJ · kg
–1 soit Q = 98,7 kJ.
Le travail échangé est W = – P 0 (V 2 – V 1 ) ou
encore W = – mP 0 (v v – v 1 ) soit W = – 9,4 kJ.
8.4 La masse de vapeur s’obtient à partir de la
valeur du volume massique v 1 :
V 1 = mv 1 soit m =
V 1
v 1
d’où
m =
0,1
1,7814
= 0,05613 kg (56,13 g).
Le volume en fin de compression est de même :
V 2 = mv 2 soit V 2 = 0,0561 × 0,014768
≈ 8,3 · 10
–4 m
3
Le travail et la chaleur échangés sont donnés par :
W = m(u 2 – u 1 ) – Q et Q = mT 0 (s 2 – s 1 )
Q = 0,05613 × (273 + 500) × (6, 1401 − 8, 5133)
= −103, 0 kJ
W = 0,05613 × (2 942, 9 − 3 130, 8) + 103, 0 W
= 92, 5 kJ
En utilisant la loi des gaz parfaits, on obtient :
P 1 V 1 =
m
M
R T 1 soit m =
M P 1 V 1
R T 1
d’où
m =
18 · 10
−3 × 2 · 10
5 × 0,1
8,31 × 773
= 0,05604 kg.
P 1 V 1 = P 2 V 2 soit V 2 =
P 1
P 2
V 1
d’où V 2 =
2
200
0,1 = 0,001 m
3 (1 L).
W = P 1 V 1 ln
P 2
P 1
d’où W = 2 · 10
5 × 0,1 × ln
200
2
= et Q = – W
Q = – 92 kJ.
Les erreurs sur le volume, le travail et la chaleur
échangés sont respectivement :
DV 2
V 2
=
1 − 0,83
0,83
= 20 % ;
DW
W
=
92,5 − 92
92,5
= 0,4 % ;
DQ
Q
=
103 − 92
103
= 10,6 %
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
605
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 605 — #615
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La production d’entropie dans le système représente le bilan :
S p = DS − S e = mc
T 1
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− 1 + ln
T 2
T 1
Les applications numériques donnent DS = –
111 J · K
–1 , S e = – 126 J · K
–1 et S p = 15 J · K
–1 .
L’entropie produite étant positive, la transformation est effectivement irréversible.
8.2 Le volume final s’obtient en utilisant la relation de Laplace faisant intervenir P et V :
P 1 V
g
1 = P 2 V
g
2
soit V 2 = V 1
P 1
P 2
1
g
d’où V 2 = 5,16 · 10
3 m
3 (5,16 L)
Le travail des forces de pression est donné directement par la relation :
W =
P 2 V 2 − P 1 V 1
g − 1
d’où W = 830 J
La variation d’énergie interne DU s’obtient grâce
au premier principe, sachant que Q = 0 :
DU = W soit DU = 830 J
Enfin, l’élévation de température du gaz (parfait)
DT est fournie par l’énergie interne :
DU = nC V DT avec n =
m
M
soit DT =
M DU
m C V
d’où DT = 132 K.
8.3 On calcule d’abord le volume massique
du mélange soit v 1 = V 1 /m = 0,1 m
3 · kg
–1
(cette valeur est comprise entre v l et v v : c’est
bien un mélange liquide-vapeur). On détermine ensuite le titre en vapeur x =
v − v l
v v − v l
x =
0,1 − 0,001127
0,19444 − 0,001127
x = 0,51 (51 %).
La masse de vapeur se calcule enfin comme suit :
m v = xm d’où m = 0,51 × 0,1 = 0,051 kg (une
autre méthode consiste à négliger le volume du
liquide devant celui de la vapeur, ainsi on a directement m v = V 1 /v v = 0,1/0,19444 = 0,051 kg).
La température reste constante pendant toute la
vaporisation : elle est donnée directement par la
table soit u 0 = 179,9
◦ C. Le volume final est
alors occupé uniquement par de la vapeur donc
V 2 = mv v = 0,1 × 0,19444 = 0,01944 m
3 soit
V 2 = 19,4 L.
La chaleur échangée est Q = m(h 2 –
h 1 ) où h 1 = (1 – x)h l + xh v = (1 – 0,51) ×
762,81 + 0,51 × 2 778,1 = 1 790,6 kJ · kg
–1
et h 2 = 2 778,1 kJ · kg
–1 soit Q = 98,7 kJ.
Le travail échangé est W = – P 0 (V 2 – V 1 ) ou
encore W = – mP 0 (v v – v 1 ) soit W = – 9,4 kJ.
8.4 La masse de vapeur s’obtient à partir de la
valeur du volume massique v 1 :
V 1 = mv 1 soit m =
V 1
v 1
d’où
m =
0,1
1,7814
= 0,05613 kg (56,13 g).
Le volume en fin de compression est de même :
V 2 = mv 2 soit V 2 = 0,0561 × 0,014768
≈ 8,3 · 10
–4 m
3
Le travail et la chaleur échangés sont donnés par :
W = m(u 2 – u 1 ) – Q et Q = mT 0 (s 2 – s 1 )
Q = 0,05613 × (273 + 500) × (6, 1401 − 8, 5133)
= −103, 0 kJ
W = 0,05613 × (2 942, 9 − 3 130, 8) + 103, 0 W
= 92, 5 kJ
En utilisant la loi des gaz parfaits, on obtient :
P 1 V 1 =
m
M
R T 1 soit m =
M P 1 V 1
R T 1
d’où
m =
18 · 10
−3 × 2 · 10
5 × 0,1
8,31 × 773
= 0,05604 kg.
P 1 V 1 = P 2 V 2 soit V 2 =
P 1
P 2
V 1
d’où V 2 =
2
200
0,1 = 0,001 m
3 (1 L).
W = P 1 V 1 ln
P 2
P 1
d’où W = 2 · 10
5 × 0,1 × ln
200
2
= et Q = – W
Q = – 92 kJ.
Les erreurs sur le volume, le travail et la chaleur
échangés sont respectivement :
DV 2
V 2
=
1 − 0,83
0,83
= 20 % ;
DW
W
=
92,5 − 92
92,5
= 0,4 % ;
DQ
Q
=
103 − 92
103
= 10,6 %
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 605 — #615
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