SOLUTIONS DES EXERCICES
de c
dt
=
∂e c
∂t
+ u
∂e c
∂x
+ v
∂e c
∂ y
= r
a
2 t − vax + v(vx − at)
2 − v
3 y
2
.
d) Accélération en représentation eulérienne :
#– g =
−a
0
+
v 0
0 −v
•
vx − at
−vy
=
−a + v(vx − at)
v
2 y
.
Le lecteur peut vérifier que cette expression est
identique (à un changement de représentation
près) à celle obtenue en dérivant deux fois x(t) et
y(t).
5.3 a) Appliquons le théorème de Bernoulli
(voir tableau 5.1) à la ligne de courant L indiquée sur la figure : p(Z M ) + rgZ M +
1
2
rV
2
r =
p a +
1
2
rV
2
j . L’écoulement dans le canal d’amener
étant à lignes de courant rectilignes et parallèles
à la surface libre, il s’ensuit que la répartition des
pressions est hydrostatique : p(Z M ) + rgZ M =
p a + rgH . D’autre part, considérons le tube de
courant limité par une section droite du canal
d’amener, le radier (fond du canal), la surface
libre, la paroi interne de la conduite forcée et
une section droite du jet, la conservation de la
masse s’écrit : (H − H 0 )L V r = AV j dont il
résulte V r = AV j /[(H − H 0 )L] ≪ V j . Après
avoir reporté ces résultats dans le théorème de
Bernoulli et placé le point M sur la surface libre
où p(H ) = p a , on obtient en première approximation :
V j =
2gH + V 2
r ≃
2gH = 44,7 m.s
−1
⇒ Q v = A
2gH = 3,58 l.s
−1 .
La vitesse ne dépend que de la hauteur d’eau H
et non du rapport des sections.
b) Le débit prend maintenant la valeur :
q v =
1
4
pd
2
2gH = (d/D)
2 Q v < Q v .
5.4 a) L’application du théorème de Bernoulli
fournit (voir tableau 5.1) :
g
g − 1
p 0
r 0
=
g
g − 1
p S
r S
+
1
2
V
2
⇒ V =
2g
g − 1
p 0
r 0
−
p a
r S
1/2
.
b) Après avoir posé l’égalité V = c S , il vient :
( p 0 / p a )(r S /r 0 ) =
1
2
(g + 1). Il ne reste plus
qu’à éliminer les masses volumiques avec l’équation de la transformation isentropique, r S /r 0 =
( p a / p 0 )
1/g , pour obtenir :
p 0
p a
=
g + 1
2
g/(g−1)
Dans le cas de l’air pour lequel g = 1,4 :
p 0 / p a = 1,89.
5.5 a) Par hypothèse, l’écoulement dans les sections d’entrée et de sortie est à lignes de courant quasi parallèles à l’axe Os ou O x et la
pression réduite est donc constante dans un plan
orthogonal à ces axes (voir encadré p. 125). Mais
les effets de la pesanteur étant négligés, c’est
en fait la pression statique qui est indépendante
de la coordonnée transversale. Par continuité
avec l’atmosphère au niveau de la surface libre
{voir (5.16) 2 }, elle vaut donc p a .
b) L’énergie mécanique des particules fluides qui
traversent la section d’entrée est la même quelle
que soit la ligne de courant considérée puisque
leur vitesse et leur pression sont les mêmes. Le
fluide étant parfait, cette énergie se retrouve dans
les sections de sortie et on a les égalités (théorème
de Bernoulli, tableau 5.1) :
re m = p a +
1
2
r #– v
2
0
= p a +
1
2
r #– v
2
1 = p a +
1
2
r #– v
2
2
dont il résulte v 0 = v 1 = v 2 = cste.
c) Pour exprimer la conservation de la masse, il
faut commencer par isoler un domaine fluide D et
celui qui s’impose est limité par les trois sections
droites A i , i = 0,1, 2, les deux surfaces libres
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
601
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 601 — #611
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∂t
+ u
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∂x
+ v
∂e c
∂ y
= r
a
2 t − vax + v(vx − at)
2 − v
3 y
2
.
d) Accélération en représentation eulérienne :
#– g =
−a
0
+
v 0
0 −v
•
vx − at
−vy
=
−a + v(vx − at)
v
2 y
.
Le lecteur peut vérifier que cette expression est
identique (à un changement de représentation
près) à celle obtenue en dérivant deux fois x(t) et
y(t).
5.3 a) Appliquons le théorème de Bernoulli
(voir tableau 5.1) à la ligne de courant L indiquée sur la figure : p(Z M ) + rgZ M +
1
2
rV
2
r =
p a +
1
2
rV
2
j . L’écoulement dans le canal d’amener
étant à lignes de courant rectilignes et parallèles
à la surface libre, il s’ensuit que la répartition des
pressions est hydrostatique : p(Z M ) + rgZ M =
p a + rgH . D’autre part, considérons le tube de
courant limité par une section droite du canal
d’amener, le radier (fond du canal), la surface
libre, la paroi interne de la conduite forcée et
une section droite du jet, la conservation de la
masse s’écrit : (H − H 0 )L V r = AV j dont il
résulte V r = AV j /[(H − H 0 )L] ≪ V j . Après
avoir reporté ces résultats dans le théorème de
Bernoulli et placé le point M sur la surface libre
où p(H ) = p a , on obtient en première approximation :
V j =
2gH + V 2
r ≃
2gH = 44,7 m.s
−1
⇒ Q v = A
2gH = 3,58 l.s
−1 .
La vitesse ne dépend que de la hauteur d’eau H
et non du rapport des sections.
b) Le débit prend maintenant la valeur :
q v =
1
4
pd
2
2gH = (d/D)
2 Q v < Q v .
5.4 a) L’application du théorème de Bernoulli
fournit (voir tableau 5.1) :
g
g − 1
p 0
r 0
=
g
g − 1
p S
r S
+
1
2
V
2
⇒ V =
2g
g − 1
p 0
r 0
−
p a
r S
1/2
.
b) Après avoir posé l’égalité V = c S , il vient :
( p 0 / p a )(r S /r 0 ) =
1
2
(g + 1). Il ne reste plus
qu’à éliminer les masses volumiques avec l’équation de la transformation isentropique, r S /r 0 =
( p a / p 0 )
1/g , pour obtenir :
p 0
p a
=
g + 1
2
g/(g−1)
Dans le cas de l’air pour lequel g = 1,4 :
p 0 / p a = 1,89.
5.5 a) Par hypothèse, l’écoulement dans les sections d’entrée et de sortie est à lignes de courant quasi parallèles à l’axe Os ou O x et la
pression réduite est donc constante dans un plan
orthogonal à ces axes (voir encadré p. 125). Mais
les effets de la pesanteur étant négligés, c’est
en fait la pression statique qui est indépendante
de la coordonnée transversale. Par continuité
avec l’atmosphère au niveau de la surface libre
{voir (5.16) 2 }, elle vaut donc p a .
b) L’énergie mécanique des particules fluides qui
traversent la section d’entrée est la même quelle
que soit la ligne de courant considérée puisque
leur vitesse et leur pression sont les mêmes. Le
fluide étant parfait, cette énergie se retrouve dans
les sections de sortie et on a les égalités (théorème
de Bernoulli, tableau 5.1) :
re m = p a +
1
2
r #– v
2
0
= p a +
1
2
r #– v
2
1 = p a +
1
2
r #– v
2
2
dont il résulte v 0 = v 1 = v 2 = cste.
c) Pour exprimer la conservation de la masse, il
faut commencer par isoler un domaine fluide D et
celui qui s’impose est limité par les trois sections
droites A i , i = 0,1, 2, les deux surfaces libres
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 601 — #611
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