SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre 5
e) L’énergie cinétique de l’ensemble S 1 par
rapport à R 0 est obtenue en calculant le comoment des torseurs cinématique et cinétique.
Pour le curseur Cr , d’après les questions a) et
c) : 2T (C/R 0 ) = {V(C/R 0 )} P . {C(C/R 0 )} P =
(A C + ml
2 )u
2
. Pour le disque D, d’après les questions b) et d) : 2T (D/R 0 ) = ( A D + Md
2 )u
2
et
l’on obtient pour S 1 :
2T (S 1 /R 0 ) = 2T (C/R 0 ) + 2T (D/R 0 )
= ( A C + A D + ml
2 + Md
2 )u
2
.
f) Les puissances des actions extérieures exercées sur le système S 1 se calculent en effectuant le co-moment du torseur des efforts et
du torseur cinématique, tous deux pris en un
même point. P( #– g → Cr /R 0 ) = mglu sin u et
P( #– g → D/R 0 ) = −Mgdu sin u. On a P(S 0 →
S 1 /R 0 ) =
#–
0 . Ce dernier résultat est en accord
avec l’hypothèse de liaison parfaite entre S 0 et
S 1 .
g) Le théorème de l’énergie cinétique
s’écrit, pour le solide S 1 dans son mouvement par rapport au repère galiléen R 0 :
dT (S 1 /R 0 )
dt
R0
= P(S 1 → S 1 /R 0 ). D’après
les résultats des questions e) et f), on obtient :
1
2
d( A C + A D + ml
2 + Md
2 )u
2
dt
R0
= (ml −
Md)gu sin u. Soit après dérivation et en supposant u = 0 : ( A C + A D + ml
2 + Md
2 ) ¨
u =
(ml − Md)g sin u.
Chapitre 5
5.1 a) Pression dans les deux liquides.
Liquide supérieur :
z i z 0, p 1 (z) = p a − r 1 gz.
Liquide inférieur :
z z i , p 2 (z) = p i + r 2 g(z i − z) où
p i = p a − r 1 gz i
est la pression à l’interface z i .
b) Résultante des forces :
F = S [ p 2 (z c − H ) − p 1 (z c )]
= gS
r 2 (z i − z c + H ) + r 1 (z c − z i )
.
c) Théorème d’Archimède :
F = (m 1 + m 2 )g
= gS {r 1 (z c − z i ) + r 2 [H − (z c − z i )]}.
Les résultats sont identiques.
5.2 a) Il s’agit de la forme différentielle (5.5) :
dx/(vx − at) + dy/vy = 0
⇔ v(ydx + xdy) − atdy = 0.
L’intégration à t fixé est immédiate et donne :
vx y − at y = C(t), soit encore : y = C(t)/(vx −
at). Les lignes de courant sont des hyperboles
équilatères d’asymptotes x = at/v et y = 0.
b) La représentation lagrangienne s’obtient par
intégration du système différentiel :
dx/dt = u = vx − at,
dy/dt = v = −vy,
⇒
x = (x 0 − a/v
2 )e
vt + at/v + a/v
2 ,
y = y 0 e
−vt ,
où x 0 et y 0 sont les coordonnées de la particule
à l’instant t = 0. On élimine le temps entre ces
deux relations pour obtenir l’équation des trajectoires :
x = (x 0 −a/v
2 )(y 0 /y)−(a/v
2 ) ln(y/y 0 )+a/v
2 .
c) L’énergie cinétique associée à ce champ de
vitesse a pour valeur :
e c =
1
2
r[(vx − at)
2 + (−vy)
2 ]
=
1
2
r[v
2 (x
2 + y
2 ) − 2vaxt + a
2 t
2 ],
et sa dérivée particulaire s’écrit :
600
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 600 — #610
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Chapitre 5
e) L’énergie cinétique de l’ensemble S 1 par
rapport à R 0 est obtenue en calculant le comoment des torseurs cinématique et cinétique.
Pour le curseur Cr , d’après les questions a) et
c) : 2T (C/R 0 ) = {V(C/R 0 )} P . {C(C/R 0 )} P =
(A C + ml
2 )u
2
. Pour le disque D, d’après les questions b) et d) : 2T (D/R 0 ) = ( A D + Md
2 )u
2
et
l’on obtient pour S 1 :
2T (S 1 /R 0 ) = 2T (C/R 0 ) + 2T (D/R 0 )
= ( A C + A D + ml
2 + Md
2 )u
2
.
f) Les puissances des actions extérieures exercées sur le système S 1 se calculent en effectuant le co-moment du torseur des efforts et
du torseur cinématique, tous deux pris en un
même point. P( #– g → Cr /R 0 ) = mglu sin u et
P( #– g → D/R 0 ) = −Mgdu sin u. On a P(S 0 →
S 1 /R 0 ) =
#–
0 . Ce dernier résultat est en accord
avec l’hypothèse de liaison parfaite entre S 0 et
S 1 .
g) Le théorème de l’énergie cinétique
s’écrit, pour le solide S 1 dans son mouvement par rapport au repère galiléen R 0 :
dT (S 1 /R 0 )
dt
R0
= P(S 1 → S 1 /R 0 ). D’après
les résultats des questions e) et f), on obtient :
1
2
d( A C + A D + ml
2 + Md
2 )u
2
dt
R0
= (ml −
Md)gu sin u. Soit après dérivation et en supposant u = 0 : ( A C + A D + ml
2 + Md
2 ) ¨
u =
(ml − Md)g sin u.
Chapitre 5
5.1 a) Pression dans les deux liquides.
Liquide supérieur :
z i z 0, p 1 (z) = p a − r 1 gz.
Liquide inférieur :
z z i , p 2 (z) = p i + r 2 g(z i − z) où
p i = p a − r 1 gz i
est la pression à l’interface z i .
b) Résultante des forces :
F = S [ p 2 (z c − H ) − p 1 (z c )]
= gS
r 2 (z i − z c + H ) + r 1 (z c − z i )
.
c) Théorème d’Archimède :
F = (m 1 + m 2 )g
= gS {r 1 (z c − z i ) + r 2 [H − (z c − z i )]}.
Les résultats sont identiques.
5.2 a) Il s’agit de la forme différentielle (5.5) :
dx/(vx − at) + dy/vy = 0
⇔ v(ydx + xdy) − atdy = 0.
L’intégration à t fixé est immédiate et donne :
vx y − at y = C(t), soit encore : y = C(t)/(vx −
at). Les lignes de courant sont des hyperboles
équilatères d’asymptotes x = at/v et y = 0.
b) La représentation lagrangienne s’obtient par
intégration du système différentiel :
dx/dt = u = vx − at,
dy/dt = v = −vy,
⇒
x = (x 0 − a/v
2 )e
vt + at/v + a/v
2 ,
y = y 0 e
−vt ,
où x 0 et y 0 sont les coordonnées de la particule
à l’instant t = 0. On élimine le temps entre ces
deux relations pour obtenir l’équation des trajectoires :
x = (x 0 −a/v
2 )(y 0 /y)−(a/v
2 ) ln(y/y 0 )+a/v
2 .
c) L’énergie cinétique associée à ce champ de
vitesse a pour valeur :
e c =
1
2
r[(vx − at)
2 + (−vy)
2 ]
=
1
2
r[v
2 (x
2 + y
2 ) − 2vaxt + a
2 t
2 ],
et sa dérivée particulaire s’écrit :
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