Chapitre 13 • Oscillations et Ondes
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 611.
13.1 Décharge d’un condensateur dans une bobine
Un condensateur de capacité C ayant les charges q et – q sur ses armatures se décharge
dans une bobine d’inductance L. Écrire l’équation régissant l’évolution du courant i
aux bornes de la bobine. En utilisant i = dq/dt, montrer qu’il s’agit de l’équation d’un
oscillateur harmonique de pulsation v 0 que l’on déterminera. Dépend-elle du temps ?
Vérifier que v 0 est homogène à une fréquence (on rappelle que [L] = VT/I et [C] = I·T/V,
où I est un courant, V une tension et T un temps).
13.2 Oscillateur harmonique avec force extérieure constante
Une bille de masse M = 500 g est suspendue verticalement à un ressort de longueur au
repos l 0 = 0,1 m et de raideur k = 50 N · m
–1 . L’ensemble est dans le champ de pesanteur
terrestre g = 9,81 m · s
–2 . En appliquant le principe fondamental de la dynamique,
calculer la longueur l 1 du ressort à l’équilibre dans le champ de pesanteur. Écrire
l’équation régissant l’élongation x du ressort. Montrer qu’il s’agit d’un oscillateur
harmonique. Que vaut la pulsation v 0 des oscillations ? Quelle est la différence avec le
cas d’un ressort se déplaçant sans frottement le long d’un axe horizontal ?
13.3 Amortissement d’un circuit RLC
Un circuit série est constitué d’une bobine L, d’un condensateur C et d’une résistance R.
Écrire l’équation régissant l’évolution de la charge aux bornes du condensateur. Montrer
qu’elle est de la forme de l’équation 13.5 du cours. Exprimer l’amortissement g en
fonction des données de l’exercice. Qu’est-ce qui est responsable de l’amortissement ?
Quelle relation doit-on avoir entre L, R et C pour qu’il y ait amortissement critique ?
13.4 Période d’oscillation d’un pendule
Quelle est la période d’oscillation d’une masse de 10 kg accroché à l’extrémité d’une
corde dont l’autre extrémité est fixée au premier étage de la tour Eiffel (57 m) ? Que
devient la période si on accroche cette fois une masse de 100 kg ?
13.5 Vitesse d’oscillation de la tour Eiffel lors de la tempête de 1999
Le 26 décembre 1999, sous l’effet d’un vent de plus de 200 km · h
–1 , une amplitude
d’oscillation de 13 cm de la tour Eiffel a été enregistrée au sommet de la tour (310 m).
En supposant que l’oscillation de la tour est celle d’un pendule, quelle est la période
des oscillations ? L’énergie potentielle d’un oscillateur de pulsation v 0 et d’amplitude
A est E p =
1
2 m(v 0 A)
2 où m est la masse de l’oscillateur. Cette énergie est entièrement
convertie en énergie cinétique lors du retour à l’équilibre à partir de la situation où
l’amplitude est maximale. Quelle est la vitesse du sommet de la tour lorsqu’elle repasse
par sa position d’équilibre sachant que A = 13 cm ?
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 288 — #298
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Les solutions sont regroupées p. 611.
13.1 Décharge d’un condensateur dans une bobine
Un condensateur de capacité C ayant les charges q et – q sur ses armatures se décharge
dans une bobine d’inductance L. Écrire l’équation régissant l’évolution du courant i
aux bornes de la bobine. En utilisant i = dq/dt, montrer qu’il s’agit de l’équation d’un
oscillateur harmonique de pulsation v 0 que l’on déterminera. Dépend-elle du temps ?
Vérifier que v 0 est homogène à une fréquence (on rappelle que [L] = VT/I et [C] = I·T/V,
où I est un courant, V une tension et T un temps).
13.2 Oscillateur harmonique avec force extérieure constante
Une bille de masse M = 500 g est suspendue verticalement à un ressort de longueur au
repos l 0 = 0,1 m et de raideur k = 50 N · m
–1 . L’ensemble est dans le champ de pesanteur
terrestre g = 9,81 m · s
–2 . En appliquant le principe fondamental de la dynamique,
calculer la longueur l 1 du ressort à l’équilibre dans le champ de pesanteur. Écrire
l’équation régissant l’élongation x du ressort. Montrer qu’il s’agit d’un oscillateur
harmonique. Que vaut la pulsation v 0 des oscillations ? Quelle est la différence avec le
cas d’un ressort se déplaçant sans frottement le long d’un axe horizontal ?
13.3 Amortissement d’un circuit RLC
Un circuit série est constitué d’une bobine L, d’un condensateur C et d’une résistance R.
Écrire l’équation régissant l’évolution de la charge aux bornes du condensateur. Montrer
qu’elle est de la forme de l’équation 13.5 du cours. Exprimer l’amortissement g en
fonction des données de l’exercice. Qu’est-ce qui est responsable de l’amortissement ?
Quelle relation doit-on avoir entre L, R et C pour qu’il y ait amortissement critique ?
13.4 Période d’oscillation d’un pendule
Quelle est la période d’oscillation d’une masse de 10 kg accroché à l’extrémité d’une
corde dont l’autre extrémité est fixée au premier étage de la tour Eiffel (57 m) ? Que
devient la période si on accroche cette fois une masse de 100 kg ?
13.5 Vitesse d’oscillation de la tour Eiffel lors de la tempête de 1999
Le 26 décembre 1999, sous l’effet d’un vent de plus de 200 km · h
–1 , une amplitude
d’oscillation de 13 cm de la tour Eiffel a été enregistrée au sommet de la tour (310 m).
En supposant que l’oscillation de la tour est celle d’un pendule, quelle est la période
des oscillations ? L’énergie potentielle d’un oscillateur de pulsation v 0 et d’amplitude
A est E p =
1
2 m(v 0 A)
2 où m est la masse de l’oscillateur. Cette énergie est entièrement
convertie en énergie cinétique lors du retour à l’équilibre à partir de la situation où
l’amplitude est maximale. Quelle est la vitesse du sommet de la tour lorsqu’elle repasse
par sa position d’équilibre sachant que A = 13 cm ?
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