10.1. Le phénomène de conduction de la chaleur
La relation 10.5 s’écrit :
Sachant que, par définition, la dérivée d’une fonction f est :
d f (x)
dx
=
f (x + dx) − f (x)
Dx
,
quand dx → 0
l S dx
∂
2 T (x, t)
∂x 2 + Q = r V C p
∂T (x, t)
∂t
Et comme V = S dx, on trouve finalement ( ˙
Q = Q/V désigne maintenant une
source de chaleur volumique en W · m
–3 ) :
l
∂
2 T (x, t)
∂x 2 + ˙
Q = r C p
∂T (x, t)
∂t
Cette relation aux dérivées partielles, en temps et en espace, se généralise dans
l’espace à trois dimensions sous la forme :
l DT + ˙
Q = r C p
∂T (M, t)
∂t
(10.6)
Cette relation traduit le transfert linéaire de chaleur par diffusion dans le matériau.
b) Conditions initiales et conditions aux limites
L’équation de la chaleur, décrite par la relation 10.6, est une équation aux dérivées
partielles. Elle possède en théorie une infinité de solutions si on ne fixe pas de condition
initiale en temps et de conditions aux limites aux frontières du domaine étudié.
Si on considère un matériau donc le domaine d’extension est noté V et la frontière
est notée G, la condition initiale s’écrit sous la forme :
T (M, t) = T 0 (M), à t = 0 pour M ∈ (V ∪ G)
On distingue trois types de conditions aux limites thermiques.
Condition de température imposée (ou condition de Dirichlet) :
T (M, t) = T i (M, t), à t > 0 pour M ∈ G
Cette condition peut être utilisée lorsque l’on fait circuler un fluide dont la température
est maintenue constante et égale à T i à la surface G du domaine solide, ou bien lorsque
l’on met la surface en contact parfait avec un matériau massif et capacitif à température
homogène T i . Cette deuxième configuration ne peut bien sûr avoir un sens que pour des
durées d’application limitées.
Condition de flux imposé (ou condition de Neumann) :
f(M, t) = f 0 (M, t), à t > 0 pour M ∈ G
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
209
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 209 — #219
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Sachant que, par définition, la dérivée d’une fonction f est :
d f (x)
dx
=
f (x + dx) − f (x)
Dx
,
quand dx → 0
l S dx
∂
2 T (x, t)
∂x 2 + Q = r V C p
∂T (x, t)
∂t
Et comme V = S dx, on trouve finalement ( ˙
Q = Q/V désigne maintenant une
source de chaleur volumique en W · m
–3 ) :
l
∂
2 T (x, t)
∂x 2 + ˙
Q = r C p
∂T (x, t)
∂t
Cette relation aux dérivées partielles, en temps et en espace, se généralise dans
l’espace à trois dimensions sous la forme :
l DT + ˙
Q = r C p
∂T (M, t)
∂t
(10.6)
Cette relation traduit le transfert linéaire de chaleur par diffusion dans le matériau.
b) Conditions initiales et conditions aux limites
L’équation de la chaleur, décrite par la relation 10.6, est une équation aux dérivées
partielles. Elle possède en théorie une infinité de solutions si on ne fixe pas de condition
initiale en temps et de conditions aux limites aux frontières du domaine étudié.
Si on considère un matériau donc le domaine d’extension est noté V et la frontière
est notée G, la condition initiale s’écrit sous la forme :
T (M, t) = T 0 (M), à t = 0 pour M ∈ (V ∪ G)
On distingue trois types de conditions aux limites thermiques.
Condition de température imposée (ou condition de Dirichlet) :
T (M, t) = T i (M, t), à t > 0 pour M ∈ G
Cette condition peut être utilisée lorsque l’on fait circuler un fluide dont la température
est maintenue constante et égale à T i à la surface G du domaine solide, ou bien lorsque
l’on met la surface en contact parfait avec un matériau massif et capacitif à température
homogène T i . Cette deuxième configuration ne peut bien sûr avoir un sens que pour des
durées d’application limitées.
Condition de flux imposé (ou condition de Neumann) :
f(M, t) = f 0 (M, t), à t > 0 pour M ∈ G
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