Chapitre 10 • Initiation aux transferts thermiques
10.1.4 Équation de diffusion de la chaleur
a) Bilan thermique
Il est maintenant possible d’établir l’équation de la chaleur, c’est-à-dire l’équation
traduisant mathématiquement l’évolution de la température en tout point du matériau et
à chaque instant. Nous l’établissons en effectuant un bilan sur un volume élémentaire
du matériau.
Figure 10.4 Bilan thermique sur un volume
élémentaire de la largeur dx pour un transfert 1D par
conduction selon x
Considérons pour simplifier le transfert de chaleur unidirectionnel par conduction
selon x dans un matériau comme cela est représenté sur la figure 10.4. Nous supposons
que les propriétés thermiques du matériau ne dépendent pas de la température. Isolons
un élément de largeur dx et effectuons un bilan des flux entrant et sortant de cet élément.
On désigne par S la section de passage du flux et par V le volume compris entre x et x
+ dx. D’après la relation 10.1 le flux entrant s’écrit :
f e = −l S
∂T (x, t)
∂x
(10.3)
De la même façon le flux sortant s’écrit :
f s = −l S
∂T (x + dx, t)
∂x
(10.4)
Le bilan thermique consiste donc à écrire que la somme des flux, comptés positivement dans le sens de la normale intérieure au volume élémentaire, est égale au terme
d’accumulation de chaleur. Si on considère la présence éventuelle d’une source de
chaleur Q (en W) dans le volume élémentaire, ce bilan s’écrit :
f e − f s + Q = m C p
∂T
∂t
= r C p V
∂T
∂t
En remplaçant les flux par leur expression (relations 10.3 et 10.4) on trouve alors :
−l S
∂T (x, t)
∂x
+ l S
∂T (x + dx, t)
∂x
+ Q = r V C p
∂T (x, t)
∂t
(10.5)
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 208 — #218
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