8.3. Application aux gaz parfaits
En introduisant la différentielle de l’équation d’état des gaz parfaits :
PV = nRT soit P dV + V dP = nR dT
En notant que C P – C V = R et en posant g = C P /C V , on obtient finalement :
C P P dV + C V V dP = 0 soit gP dV + V dP = 0 d’où
dP
P
+
dV
V
= 0
Par intégration, on a : ln P + g ln V = ln P + ln V
g = ln (PV
g ) = constante soit :
PV
g = constante d’où P 1 V
g
1 = P 2 V
g
2 ou P 2 = P 1
V 1
V 2
g
On obtient d’autres expressions équivalentes en utilisant l’équation d’état :
P
1–g T
g = constante ou T V
g−1 = constante
Remarque
Ces trois expressions (relations de Laplace) ne sont valables que pour les conditions
dans lesquelles elles ont été établies : adiabatique, réversible et gaz parfait.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0
20
40
60
80
Pression (bar)
Volume (L)
isotherme
adiabatique
Figure 8.2 Comparaison des pentes d’une
adiabatique et d’une isotherme (gaz
diatomique)
Comme g > 1, la pente associée à une transformation adiabatique en un point quelconque
d’un diagramme P(V ) est toujours supérieure à
celle d’une transformation isotherme.
Le travail échangé au cours d’une telle transformation adiabatique est :
dW = −P dV = −P V
g dV
V g
soit W = −P V
g
V 2
V 1
dV
V g =
P V
g
g − 1
V
1−g
2
− V
1−g
1
P V
g = P 1 V
g
1 = P 2 V
g
2 = constante
d’où W =
P 2 V 2 − P 1 V 1
g − 1
ou W =
n R
g − 1
(T 2 − T 1 )
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 173 — #183
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