Chapitre 7 • Systèmes thermodynamiques
Dans le cas des gaz, l’intégration de cette relation nécessite la connaissance de la loi
de variation de leur masse volumique r avec la pression P. Pour l’air (r = 1,22 kg·m
–3 à
1013 hPa), on obtient une diminution exponentielle de la pression avec l’altitude (atmosphère isotherme à 15
◦ C). Cependant, sur une faible dénivellation (Dz ≈ 10 m), on peut
considérer r comme constante, car la différence de pression reste faible (DP ≈ 120 Pa
soit une différence de l’ordre de 0,1 %). Ainsi, dans un réservoir, même de grande
dimension, on peut donc considérer la pression d’un gaz comme constante en tout
point du volume.
Pour les liquides, on ne constate qu’une très légère augmentation de la masse volumique r avec les très fortes pressions. Autrement dit pour l’eau, même sur de grandes
profondeurs, on peut considérer r comme indépendante de la pression, c’est-à-dire
incompressible
Voir. chap 6
.
7.3.3 Hydrostatique
En adoptant une orientation descendante de l’axe z (selon la profondeur) pour les
liquides, plus commode en pratique qu’une orientation ascendante (selon l’altitude),
l’intégration de la loi fondamentale entre deux points A et B du liquide étudié donne
une différence de pression de :
P B – P A = r g (z B – z A ) = r g h
La principale conséquence de la loi fondamentale est que la pression en un point d’un
liquide est indépendante de la forme du récipient : en particulier, la pression exercée par
le liquide au fond d’un récipient n’est fonction que de la hauteur h du liquide dans le
récipient. Une autre conséquence est que tous les points situés dans un plan horizontal
d’un même liquide sont à la même pression : en particulier la surface libre d’un liquide
est toujours un plan horizontal et sa pression est égale à la pression du gaz le surmontant.
Exercice d’application 7.1 – Piston ouvert
h
eau
Un récipient ouvert contient de l’eau (r = 1,0 g · cm
–3 ). Un piston horizontal (sans frottement) de rayon R = 20 cm, traversé en
son centre par un tube vertical ouvert de rayon r = 10 cm, vient
fermer ce récipient. La masse de cet ensemble (tube + piston) est
de m = 30 kg. Déterminez, à l’équilibre, la hauteur h à laquelle
l’eau s’élève dans le tube. On donne la valeur de la pression
atmosphérique P 0 = 1,013 bar et l’accélération de la pesanteur
g = 9,8 m · s
–2 .
SOLUTION. En un point quelconque A situé dans l’eau à la base du piston, on écrit
l’expression de la pression due à la colonne d’eau de hauteur h au-dessus de lui
puis celle de la pression s’exerçant sur la surface S – s (section du piston diminuée
de celle du tube) due au poids de l’ensemble tube et piston. Ces deux expressions
sont égales et la pression atmosphérique, qui intervient dans les deux relations, se
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 150 — #160
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Dans le cas des gaz, l’intégration de cette relation nécessite la connaissance de la loi
de variation de leur masse volumique r avec la pression P. Pour l’air (r = 1,22 kg·m
–3 à
1013 hPa), on obtient une diminution exponentielle de la pression avec l’altitude (atmosphère isotherme à 15
◦ C). Cependant, sur une faible dénivellation (Dz ≈ 10 m), on peut
considérer r comme constante, car la différence de pression reste faible (DP ≈ 120 Pa
soit une différence de l’ordre de 0,1 %). Ainsi, dans un réservoir, même de grande
dimension, on peut donc considérer la pression d’un gaz comme constante en tout
point du volume.
Pour les liquides, on ne constate qu’une très légère augmentation de la masse volumique r avec les très fortes pressions. Autrement dit pour l’eau, même sur de grandes
profondeurs, on peut considérer r comme indépendante de la pression, c’est-à-dire
incompressible
Voir. chap 6
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7.3.3 Hydrostatique
En adoptant une orientation descendante de l’axe z (selon la profondeur) pour les
liquides, plus commode en pratique qu’une orientation ascendante (selon l’altitude),
l’intégration de la loi fondamentale entre deux points A et B du liquide étudié donne
une différence de pression de :
P B – P A = r g (z B – z A ) = r g h
La principale conséquence de la loi fondamentale est que la pression en un point d’un
liquide est indépendante de la forme du récipient : en particulier, la pression exercée par
le liquide au fond d’un récipient n’est fonction que de la hauteur h du liquide dans le
récipient. Une autre conséquence est que tous les points situés dans un plan horizontal
d’un même liquide sont à la même pression : en particulier la surface libre d’un liquide
est toujours un plan horizontal et sa pression est égale à la pression du gaz le surmontant.
Exercice d’application 7.1 – Piston ouvert
h
eau
Un récipient ouvert contient de l’eau (r = 1,0 g · cm
–3 ). Un piston horizontal (sans frottement) de rayon R = 20 cm, traversé en
son centre par un tube vertical ouvert de rayon r = 10 cm, vient
fermer ce récipient. La masse de cet ensemble (tube + piston) est
de m = 30 kg. Déterminez, à l’équilibre, la hauteur h à laquelle
l’eau s’élève dans le tube. On donne la valeur de la pression
atmosphérique P 0 = 1,013 bar et l’accélération de la pesanteur
g = 9,8 m · s
–2 .
SOLUTION. En un point quelconque A situé dans l’eau à la base du piston, on écrit
l’expression de la pression due à la colonne d’eau de hauteur h au-dessus de lui
puis celle de la pression s’exerçant sur la surface S – s (section du piston diminuée
de celle du tube) due au poids de l’ensemble tube et piston. Ces deux expressions
sont égales et la pression atmosphérique, qui intervient dans les deux relations, se
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