Mode d’emploi de
1
CIN ÉMA TIQ UE DU POI NT
PRÉAL
ABLES
• Vecteurs et calculs vectoriel
s
• Dérivatio
n et intégratio
n
• Trigonom
étrie
MOTS
CLÉS
• Vecteurs position, vitesse, accélérat
ion
• Systèmes de coordonn ées
• Repères et référentie
ls
OBJEC
TIFS
• Donner les bases du repérage d’un point dans l’espace
• Définir les principau
x systèmes de coordonn
ées
• Définir les vecteurs position, vitesse et accélérat
ion
• Savoir projeter ces vecteurs dans différents repères
• Maîtriser l’étude de mouvem
ents simples
L
a cinémati que, tout comme le cinéma, a pour origine le mot grec « kinhma » qui
signifie « mouvem ent ». La cinémati que est en effet la partie de la mécaniqu e qui
étudie le mouvem ent des corps en fonction du temps, en faisant abstractio n des forces à
l’origine de ces mouvem ents.
1.1 REPÉR AGE D’UN POINT MATÉ RIEL DANS L’ESPA CE
ET DANS LE TEMPS
Pour décrire plus simpleme nt les mouvem ents d’un corps, on assimile souvent ce dernier
à un point qu’on nomme point matériel. En fait un corps matériel peut être assimilé
à un point s’il ne roule pas sur lui-mêm e et si ses dimensio ns caractéri stiques sont
petites par rapport aux distances qu’il parcourt. Notons enfin qu’un point matériel est un
point géométri que dont la position peut être parfaitem ent définie par trois coordonn ées
seulemen t.
27
Version prélimina ire – June 1, 2010 – 14:58
“Gautron_9 7821005430 07” (Col. : ScienceSup 3-193x250) — 2010/6/1 — 14:58 — page 27 — #37
– Les préalables, c’est-à-dire les révisions nécessaires avant
la lecture du chapitre.
– Les mots clés référencés.
– Les objectifs à atteindre : le chapitre est à relire, les exercices sont à refaire jusqu’à leur parfaite maîtrise
Les points importants et les définitions fondamentales du
cours sont mis en évidence.
Les lois et théorèmes, à savoir par cœur, son parfaitement
visualisés.
Les Remarques attirent l’attention sur une difficulté,
donnent une méthode, précisent un point.
Des Encadrés éclaircissent une application ou fournissent des notes historiques qui complètent le cours.
Des applications directes du cours. La méthode de résolution est associée.
Dans les marges des renvois à des paragraphes, à des
chapitres et aux bonus à télécharger sur le site web de
Dunod.
Chapitre 2 • Dynamiq
ue du point
où E0 est une constante définie à partir des condition s initiales ( on peut par exemple
choisir de fixer que l’énergie potentiel le est nulle quand z = 0, et avoir E0 = 0).
Énergie potentie
lle
Puisque le travail d’une force conserva tive ne dépend que des positions initiale et
finale du corps en mouvem ent, on peut introduir e une fonction énergie potentiell e,
notée Ep, qui ne dépend que de la position du corps, telle que :
WA→ B #–
F = B
A #–
F #–
r · d #–
r = − Ep(B) − Ep(A)
Ep(A) et Ep(B) sont les énergies potentiel les du point M aux positions A et B
respectiv ement.
Cette fonction
énergie
potentielle a
bien la
dimension
d’une énergie
et s’exprime
en kg · m2 · s–2
ou en joules.
Théorè me
Le travail d’une force conserva tive est égal à l’opposé de la variation de l’énergie
potentiel le du point matériel.
Remarq ues
• Le signe « moins » dans l’express
ion du travail de la force conserva tive en fonction
de la variation d’énergie potentiel le est puremen t arbitraire
, et est utilisé principalemen t pour des simplifica tions d’écriture notamme
nt pour l’énergie potentiel le
gravitatio nnelle.
• La force conserva
tive dérive en fait de l’énergie potentiel le suivant la relation suivante
qui fait interveni r l’opérate
ur mathéma
tique vecteur gradient
Voir site
web
:
#–
F = − dEp
dx · #–
ux + dEp
dy · #–
uy + dEp
dz · #–
uz = − # –
grad (Ep)
Cette expressio n de #–
F en fonction du gradient de l’énergie potentiel
le Ep est bien
sûr valable dans tous les systèmes de coordonn ées ; il faut alors se reporter aux
expressio
ns du gradient dans les systèmes cylindriq
ue et sp hérique.
c) Puits et barrière de potentie
l
On considèr e ici le mouvem ent unidirect ionnel d’une particule M de masse m, sous
l’action d’une force conserva tive #–
F , dans un référenti el galiléen R . Si ce mouvem ent
est réalisé suivant un axe OX de coordonn ées x, on peut écrire la relation entre la force
appliqué e et l’énergie potentiel le dont dérive cette force :
F(x) = − dEp(x)
dx
Ep(x) est a priori quelconq ue et peut présenter des extrema (mini ma et maxima)
comme illustré dans la figure 2.8.
58
2.2. Travail et énergie
O
Ep(x)
X
x3
x2
x1
ux
Figure 2.8 Courbe d’une énergie potentiell e en fonction d’un paramètr
e x
Par définition de la dérivée, dEp(x)
dx
donne la pente de la tangente à la courbe de
Ep(x). Aux points extrêmes de cette courbe (minima et maxima) , la pente de la tangente
est nulle, donc F(x) = 0. En ces points, la force appliqué e à la particule M est nulle ;
donc si on libère la particule , elle reste en équilibre en ce point extremum . Ainsi les
extrema d’énergie potentiel le sont les position s d’équilib re de la particule .
Les régions de l’espace où l’énergie potentiel le possède un minimum sont appelées
des puits de potentie l (équilibr e stable en x1 et x3 sur la figure 2.8). Les régions
Voir site
web
de
l’espace où l’énergie potentiel le possède un maximum sont appelées barrière s de
potentie l (équilibr e instable en x2 sur la figure 2.8). En équilibre stable, il existe une
force qui « ramène » la particule vers sa position. En équilibre instable au contraire , la
force éloigne la particule de sa position.
2.2.3 Théorè me de l’énerg ie cinétiq ue et énergie mécani que
a) Définitio
n de l’énergi e cinétiqu
e
Leibniz a montré que l’effet d’une force pouvait être caractéri sé par le travail de cette
force mais aussi par ce qu’il a appelé « la force vive » correspo ndant en fait au double
d’une énergie dite cinétique . Il convient maintena nt de rap peler commen t on trouve
l’express ion de cette énergie cinétique , notamme nt à partir du cas de la chute libre d’un
corps. On peut montrer qu’un corps en chute libre depuis une h auteur h atteint une
vitesse au sol #– vs = 2 #– g h, ce qui donne 1
2 #– vs 2 = #– g h.
En multiplia nt par la
Voir site
web
masse, on obtient : 1
2 m #– vs 2 = m #– g h = #–
P · h. On
voit alors que l’effet d’une force peut se mesurer par son travail, mais aussi par une
énergie dite cinétique , exprimée en joules comme le travail.
©
Dunod
–
La
photocopie
non
autorisée
est
un
délit
59
Chapitre 5 • Fluides parfaits
Remarq ue
La pression qui règne dans un fluide au repos est indépend ante de la forme de
l’enceinte qui le contient.
Exemple de l’eau. Masse volumiqu e r = 10
3 kg · m
−3 ; accélérat ion de la pesanteu r
g = 10 m · s −2 . Alors, d p⊳dz = −10
4 Pa · m
−1 et la pression augment e de 1 bar pour
une profonde ur de 10 m.
La pression pg se détermin e par les conditio ns aux frontière s :
p1 = p2 à l’interfac e entre deux fluides au repos.
SURFA CE LIBRE
La surface libre d’un liquide est soumise à la pression atmos phériquepa . Alors, dans ce
liquide : pg = p(Z) + rgZ = pa + rgZa où Za est l’altitude de la surface libre. Si Za = 0, alors
pg = pa et p(Z) = pa − rgZ : la pression p augmente quand Z diminue.
5.1.3 Théorè me d’Archi mède
Lorsqu’u n corps C solide, indéform able, de volume VC est immergé dans un fluide au
repos, la résultant e des forces extérieur es de surface (5.1) ne dépend que de la pression
du fluide. Elle reste inchangé e si, par la pensée, on remplace C par le fluide lui même
et, #–
N étant la normale extérieur e à C, on peut donc écrire en appliqua nt la formule du
gradient et la loi fondame ntale de l’hydrost atique :
∂C
(− p #–
N )dA = −
C r #– g dV = − #–
P : poussée d’Archim ède,
où #–
P est le poids du volume VC de fluide déplacé puisque r est la masse volumiqu e du
fluide. Ce résultat est valable que le poids volumiqu e r #– g du fluide soit uniforme ou non,
continu ou non (cas d’un corps partiellem ent immergé dans un liquide et émergean t dans
un gaz). Si les effets de la gravité peuvent être négligés, la pression est alors constante
et la poussée d’Archim ède est nulle.
Remarq ue
Désignon s par #–
PC = PC #– ez le poids du corps : si P > PC, le corps flotte, sinon il coule.
FAIRE LA PLANC HE
Le corps humain a une masse volumiqu
e moyenne de rc = 985 kg · m−
3 et il subit donc
une poussée d’Archimè de de la part de l’eau douce égale à re⊳rc = 1000⊳985 = 1֒015
fois son poids : il flotte. Tandis que dans de l’eau de mer, re = 1025 kg · m− 3 et la poussée
a pour valeur 1֒04 son poids : il flotte encore mieux.
120
13.4. Oscillateu r harmoniq ue amorti
ω
Figure 13.3 Solutions de l’équation de l’oscillate
ur
harmoniq ue
A(t) est représenté en trait plein, dA/ dt en pointillés. À l’instant t0, A est maximum
, et dA/ dt est nul.
Exercice d’applic ation 13.2 – Portrait de phase
Montrer que A et dA/ dt vérifient l’équatio n A2(t) + 1
v2 0
dA
dt
2
= C 2 où C est
une constante valant C = A2 0 + ˙
A2 0 ⊳v2 0 . Quelle est l’allure de la courbe obtenue
dans l’espace (A, dA/ dt) ?
SOLUTIO N. On utilise les expressio ns de A et dA/ dt et on développ e les carrés,
puis on simplifie pour obtenir le résultat. On reconnaî t l’éq uation d’une ellipse
dans le plan (A, dA/dt), appelée portrait de phase (Fig. 13.4).
ω
ω
Figure 13.4 Portrait de phase de l’oscillate
ur
harmoniq ue
dA/ dt est représenté en fonction de A(t). À t = 0,
A(0) = A0 et dA⊳dt(0) = ˙
A0. Lorsque t augmente , A(t)
augmente vers sa valeur maximale C et dA/ dt diminue vers 0. Les flèches indiquent le sens d’écoulem
ent
du temps.
13.4 OSCIL LATEU R HARM ONIQU E AMOR TI
a) Amortis sement visqueu x
En réalité, les oscillatio ns ne durent pas indéfinim ent. Ell es sont amorties soit du fait
de frotteme nts, soit par rayonnem ent. Nous traitons ici le cas d’un amortiss ement
visqueux (dont les forces de frotteme nts mécaniq ues sont un exemple) . Dans ce cas, la
force responsa ble de l’amortis sement est une fonction linéaire de dA/dT (dA/dT est la
vitesse du mouvem ent dans le cas d’un oscillateu r mécaniq ue ). Son sens est opposé
au sens du mouvem ent. On peut écrire, dans le cas d’un mouvem ent unidimen sionnel
Fa = −gdA⊳d t, et l’équatio n 13.3 devient :
© Dunod – La photocopie
non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page X — #8
i
i
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PRÉAL
ABLES
• Vecteurs et calculs vectoriel
s
• Dérivatio
n et intégratio
n
• Trigonom
étrie
MOTS
CLÉS
• Vecteurs position, vitesse, accélérat
ion
• Systèmes de coordonn ées
• Repères et référentie
ls
OBJEC
TIFS
• Donner les bases du repérage d’un point dans l’espace
• Définir les principau
x systèmes de coordonn
ées
• Définir les vecteurs position, vitesse et accélérat
ion
• Savoir projeter ces vecteurs dans différents repères
• Maîtriser l’étude de mouvem
ents simples
L
a cinémati que, tout comme le cinéma, a pour origine le mot grec « kinhma » qui
signifie « mouvem ent ». La cinémati que est en effet la partie de la mécaniqu e qui
étudie le mouvem ent des corps en fonction du temps, en faisant abstractio n des forces à
l’origine de ces mouvem ents.
1.1 REPÉR AGE D’UN POINT MATÉ RIEL DANS L’ESPA CE
ET DANS LE TEMPS
Pour décrire plus simpleme nt les mouvem ents d’un corps, on assimile souvent ce dernier
à un point qu’on nomme point matériel. En fait un corps matériel peut être assimilé
à un point s’il ne roule pas sur lui-mêm e et si ses dimensio ns caractéri stiques sont
petites par rapport aux distances qu’il parcourt. Notons enfin qu’un point matériel est un
point géométri que dont la position peut être parfaitem ent définie par trois coordonn ées
seulemen t.
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– Les préalables, c’est-à-dire les révisions nécessaires avant
la lecture du chapitre.
– Les mots clés référencés.
– Les objectifs à atteindre : le chapitre est à relire, les exercices sont à refaire jusqu’à leur parfaite maîtrise
Les points importants et les définitions fondamentales du
cours sont mis en évidence.
Les lois et théorèmes, à savoir par cœur, son parfaitement
visualisés.
Les Remarques attirent l’attention sur une difficulté,
donnent une méthode, précisent un point.
Des Encadrés éclaircissent une application ou fournissent des notes historiques qui complètent le cours.
Des applications directes du cours. La méthode de résolution est associée.
Dans les marges des renvois à des paragraphes, à des
chapitres et aux bonus à télécharger sur le site web de
Dunod.
Chapitre 2 • Dynamiq
ue du point
où E0 est une constante définie à partir des condition s initiales ( on peut par exemple
choisir de fixer que l’énergie potentiel le est nulle quand z = 0, et avoir E0 = 0).
Énergie potentie
lle
Puisque le travail d’une force conserva tive ne dépend que des positions initiale et
finale du corps en mouvem ent, on peut introduir e une fonction énergie potentiell e,
notée Ep, qui ne dépend que de la position du corps, telle que :
WA→ B #–
F = B
A #–
F #–
r · d #–
r = − Ep(B) − Ep(A)
Ep(A) et Ep(B) sont les énergies potentiel les du point M aux positions A et B
respectiv ement.
Cette fonction
énergie
potentielle a
bien la
dimension
d’une énergie
et s’exprime
en kg · m2 · s–2
ou en joules.
Théorè me
Le travail d’une force conserva tive est égal à l’opposé de la variation de l’énergie
potentiel le du point matériel.
Remarq ues
• Le signe « moins » dans l’express
ion du travail de la force conserva tive en fonction
de la variation d’énergie potentiel le est puremen t arbitraire
, et est utilisé principalemen t pour des simplifica tions d’écriture notamme
nt pour l’énergie potentiel le
gravitatio nnelle.
• La force conserva
tive dérive en fait de l’énergie potentiel le suivant la relation suivante
qui fait interveni r l’opérate
ur mathéma
tique vecteur gradient
Voir site
web
:
#–
F = − dEp
dx · #–
ux + dEp
dy · #–
uy + dEp
dz · #–
uz = − # –
grad (Ep)
Cette expressio n de #–
F en fonction du gradient de l’énergie potentiel
le Ep est bien
sûr valable dans tous les systèmes de coordonn ées ; il faut alors se reporter aux
expressio
ns du gradient dans les systèmes cylindriq
ue et sp hérique.
c) Puits et barrière de potentie
l
On considèr e ici le mouvem ent unidirect ionnel d’une particule M de masse m, sous
l’action d’une force conserva tive #–
F , dans un référenti el galiléen R . Si ce mouvem ent
est réalisé suivant un axe OX de coordonn ées x, on peut écrire la relation entre la force
appliqué e et l’énergie potentiel le dont dérive cette force :
F(x) = − dEp(x)
dx
Ep(x) est a priori quelconq ue et peut présenter des extrema (mini ma et maxima)
comme illustré dans la figure 2.8.
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2.2. Travail et énergie
O
Ep(x)
X
x3
x2
x1
ux
Figure 2.8 Courbe d’une énergie potentiell e en fonction d’un paramètr
e x
Par définition de la dérivée, dEp(x)
dx
donne la pente de la tangente à la courbe de
Ep(x). Aux points extrêmes de cette courbe (minima et maxima) , la pente de la tangente
est nulle, donc F(x) = 0. En ces points, la force appliqué e à la particule M est nulle ;
donc si on libère la particule , elle reste en équilibre en ce point extremum . Ainsi les
extrema d’énergie potentiel le sont les position s d’équilib re de la particule .
Les régions de l’espace où l’énergie potentiel le possède un minimum sont appelées
des puits de potentie l (équilibr e stable en x1 et x3 sur la figure 2.8). Les régions
Voir site
web
de
l’espace où l’énergie potentiel le possède un maximum sont appelées barrière s de
potentie l (équilibr e instable en x2 sur la figure 2.8). En équilibre stable, il existe une
force qui « ramène » la particule vers sa position. En équilibre instable au contraire , la
force éloigne la particule de sa position.
2.2.3 Théorè me de l’énerg ie cinétiq ue et énergie mécani que
a) Définitio
n de l’énergi e cinétiqu
e
Leibniz a montré que l’effet d’une force pouvait être caractéri sé par le travail de cette
force mais aussi par ce qu’il a appelé « la force vive » correspo ndant en fait au double
d’une énergie dite cinétique . Il convient maintena nt de rap peler commen t on trouve
l’express ion de cette énergie cinétique , notamme nt à partir du cas de la chute libre d’un
corps. On peut montrer qu’un corps en chute libre depuis une h auteur h atteint une
vitesse au sol #– vs = 2 #– g h, ce qui donne 1
2 #– vs 2 = #– g h.
En multiplia nt par la
Voir site
web
masse, on obtient : 1
2 m #– vs 2 = m #– g h = #–
P · h. On
voit alors que l’effet d’une force peut se mesurer par son travail, mais aussi par une
énergie dite cinétique , exprimée en joules comme le travail.
©
Dunod
–
La
photocopie
non
autorisée
est
un
délit
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Chapitre 5 • Fluides parfaits
Remarq ue
La pression qui règne dans un fluide au repos est indépend ante de la forme de
l’enceinte qui le contient.
Exemple de l’eau. Masse volumiqu e r = 10
3 kg · m
−3 ; accélérat ion de la pesanteu r
g = 10 m · s −2 . Alors, d p⊳dz = −10
4 Pa · m
−1 et la pression augment e de 1 bar pour
une profonde ur de 10 m.
La pression pg se détermin e par les conditio ns aux frontière s :
p1 = p2 à l’interfac e entre deux fluides au repos.
SURFA CE LIBRE
La surface libre d’un liquide est soumise à la pression atmos phériquepa . Alors, dans ce
liquide : pg = p(Z) + rgZ = pa + rgZa où Za est l’altitude de la surface libre. Si Za = 0, alors
pg = pa et p(Z) = pa − rgZ : la pression p augmente quand Z diminue.
5.1.3 Théorè me d’Archi mède
Lorsqu’u n corps C solide, indéform able, de volume VC est immergé dans un fluide au
repos, la résultant e des forces extérieur es de surface (5.1) ne dépend que de la pression
du fluide. Elle reste inchangé e si, par la pensée, on remplace C par le fluide lui même
et, #–
N étant la normale extérieur e à C, on peut donc écrire en appliqua nt la formule du
gradient et la loi fondame ntale de l’hydrost atique :
∂C
(− p #–
N )dA = −
C r #– g dV = − #–
P : poussée d’Archim ède,
où #–
P est le poids du volume VC de fluide déplacé puisque r est la masse volumiqu e du
fluide. Ce résultat est valable que le poids volumiqu e r #– g du fluide soit uniforme ou non,
continu ou non (cas d’un corps partiellem ent immergé dans un liquide et émergean t dans
un gaz). Si les effets de la gravité peuvent être négligés, la pression est alors constante
et la poussée d’Archim ède est nulle.
Remarq ue
Désignon s par #–
PC = PC #– ez le poids du corps : si P > PC, le corps flotte, sinon il coule.
FAIRE LA PLANC HE
Le corps humain a une masse volumiqu
e moyenne de rc = 985 kg · m−
3 et il subit donc
une poussée d’Archimè de de la part de l’eau douce égale à re⊳rc = 1000⊳985 = 1֒015
fois son poids : il flotte. Tandis que dans de l’eau de mer, re = 1025 kg · m− 3 et la poussée
a pour valeur 1֒04 son poids : il flotte encore mieux.
120
13.4. Oscillateu r harmoniq ue amorti
ω
Figure 13.3 Solutions de l’équation de l’oscillate
ur
harmoniq ue
A(t) est représenté en trait plein, dA/ dt en pointillés. À l’instant t0, A est maximum
, et dA/ dt est nul.
Exercice d’applic ation 13.2 – Portrait de phase
Montrer que A et dA/ dt vérifient l’équatio n A2(t) + 1
v2 0
dA
dt
2
= C 2 où C est
une constante valant C = A2 0 + ˙
A2 0 ⊳v2 0 . Quelle est l’allure de la courbe obtenue
dans l’espace (A, dA/ dt) ?
SOLUTIO N. On utilise les expressio ns de A et dA/ dt et on développ e les carrés,
puis on simplifie pour obtenir le résultat. On reconnaî t l’éq uation d’une ellipse
dans le plan (A, dA/dt), appelée portrait de phase (Fig. 13.4).
ω
ω
Figure 13.4 Portrait de phase de l’oscillate
ur
harmoniq ue
dA/ dt est représenté en fonction de A(t). À t = 0,
A(0) = A0 et dA⊳dt(0) = ˙
A0. Lorsque t augmente , A(t)
augmente vers sa valeur maximale C et dA/ dt diminue vers 0. Les flèches indiquent le sens d’écoulem
ent
du temps.
13.4 OSCIL LATEU R HARM ONIQU E AMOR TI
a) Amortis sement visqueu x
En réalité, les oscillatio ns ne durent pas indéfinim ent. Ell es sont amorties soit du fait
de frotteme nts, soit par rayonnem ent. Nous traitons ici le cas d’un amortiss ement
visqueux (dont les forces de frotteme nts mécaniq ues sont un exemple) . Dans ce cas, la
force responsa ble de l’amortis sement est une fonction linéaire de dA/dT (dA/dT est la
vitesse du mouvem ent dans le cas d’un oscillateu r mécaniq ue ). Son sens est opposé
au sens du mouvem ent. On peut écrire, dans le cas d’un mouvem ent unidimen sionnel
Fa = −gdA⊳d t, et l’équatio n 13.3 devient :
© Dunod – La photocopie
non autorisée est un délit
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