INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET
AU CHAOS QUANTIQUE
par
Frédéric Faure
Introduction
La théorie de la mécanique quantique a été découverte par
Heisenberg, Schrôdinger et d'autres au début du xxe siècle. Elle
décrit la matière par des ondes de matière qui évoluent selon
l'équation de Schrodinger. Ces ondes ont une signification probabiliste en physique. Auparavant, les constituants de la matière étaient
décrit par les équations de la mécanique classique (Newton 1686, Hamilton 1833) qui sont des lois déterministes pour les trajectoires des
particules. Dans la partie 1 nous proposons une brève introduction
aux idées et au formalisme de la mécanique classique et de la mécanique quantique. Nous expliquerons le passage entre les descriptions
classique et quantique en terme de paquet d'onde, assimilable à une
particule et avec le principe de correspondance qui se formalise avec
le théorème d'Egorov. Nous présenterons des exemples simples de
dynamique qui serviront dans les textes suivants de ce volume, que
sont la particule libre sur le cercle, sur le tore ' 11:' 2 , dans un billard et
sur une surface à courbure négative. Dans tous ces cas, l'opérateur
de Schrôdinger est le laplacien.
Dans la partie 2, nous présentons la problématique du chaos déterministe et l'approche mathématique pour l'aborder. Depuis les travaux d'Henri Poincaré (1892) et ensuite Birkhoff, puis Anosov (1967),
Ruelle, etc., il est apparu que les trajectoires issues de lois déterministes mais possédant une forte sensibilité aux conditions initiales
AU CHAOS QUANTIQUE
par
Frédéric Faure
Introduction
La théorie de la mécanique quantique a été découverte par
Heisenberg, Schrôdinger et d'autres au début du xxe siècle. Elle
décrit la matière par des ondes de matière qui évoluent selon
l'équation de Schrodinger. Ces ondes ont une signification probabiliste en physique. Auparavant, les constituants de la matière étaient
décrit par les équations de la mécanique classique (Newton 1686, Hamilton 1833) qui sont des lois déterministes pour les trajectoires des
particules. Dans la partie 1 nous proposons une brève introduction
aux idées et au formalisme de la mécanique classique et de la mécanique quantique. Nous expliquerons le passage entre les descriptions
classique et quantique en terme de paquet d'onde, assimilable à une
particule et avec le principe de correspondance qui se formalise avec
le théorème d'Egorov. Nous présenterons des exemples simples de
dynamique qui serviront dans les textes suivants de ce volume, que
sont la particule libre sur le cercle, sur le tore ' 11:' 2 , dans un billard et
sur une surface à courbure négative. Dans tous ces cas, l'opérateur
de Schrôdinger est le laplacien.
Dans la partie 2, nous présentons la problématique du chaos déterministe et l'approche mathématique pour l'aborder. Depuis les travaux d'Henri Poincaré (1892) et ensuite Birkhoff, puis Anosov (1967),
Ruelle, etc., il est apparu que les trajectoires issues de lois déterministes mais possédant une forte sensibilité aux conditions initiales