68
Physique statistique
On obtient :
P(n) = P(˜ n) exp
−
(n − ˜
n) 2
2s 2
(73)
Pour calculer ˜
n, revenons à la distribution binomiale initiale (équation 35), où n est entier,
et prenons le logarithme de chaque membre :
Log P(n) = Log N! − Log n! − Log (N − n)! + n Log p + (N − n) Log q
(74)
Lorsque N et n sont grands, cas qui nous intéresse ici, on peut utiliser l’approximation
de Stirling (équation 12) pour évaluer les factorielles. D’autre part, on peut considérer
que N et n sont des variables continues. On en déduit :
d Log n!
dn
= Log n
(75)
Par suite :
d Log P(n)
dn
= − Log n + Log (N − n) + Log p − Log q
(76)
Pour satisfaire la condition de maximum (68) on doit avoir :
Log
(N − ˜
n)p
˜
nq
= 0
(77)
soit :
˜
n = Np
(78)
car p + q = 1. On retrouve, comme il se doit, le même résultat que l’équation (46) :
˜
n =. Évaluons à présent la dérivée seconde de Log P(n) :
d 2
dn 2 Log P(n)
n=˜ n
= −
1
˜
n
−
1
N − ˜
n
= −
1
Npq
(79)
mais :
d 3
dn 3 Log P(n)
n=˜ n
=
1
˜
n 2 −
1
(N − ˜
n) 2 = −
p 2 − q 2
N 2 p 2 q 2
(80)
La valeur absolue du terme du troisième ordre vaut
|q 2 − p 2 |
N 2 p 2 q 2 <
1
N 2 p 2 q 2 . Ce dernier
terme varie en
1
N 2 alors que le terme du second ordre varie en
1
N
. Il est donc négligeable
lorsque N est très grand et lorsque p (ou q) ne sont pas très petits. On peut alors remplacer
la distribution binomiale par une distribution de Gauss :
P(n) = P 0 exp
−
(n − ˜
n) 2
2s 2
(81)
La constante P 0 est obtenue en normalisant la distribution (annexe A3.3) :
+∞
−∞
P 0 exp
−
(n − ˜
n) 2
2s 2
dn = P 0
√
2ps 2
(82)