2 • Le monde microscopique
33
2.2 BOSONS ET FERMIONS
2.2.1 Définitions
La plupart des objets sont discernables au niveau macroscopique. Si ce n’est pas le
cas, on peut, sans changer aucunement leurs propriétés, les marquer pour pouvoir les
distinguer (boules de billard de couleurs différentes, par exemple). Ce n’est pas le cas
au niveau microscopique où toutes les particules de même nature sont indiscernables
et où il n’est pas possible de les « marquer » sans les perturber fortement. Ainsi, pour
distinguer deux atomes d’hydrogène, il faudrait modifier la structure de l’un d’entre eux
mais on n’aurait alors plus l’atome dans son état fondamental. L’expérience montre que
toutes les particules de la nature ont un spin s (exprimé en unités ) qui est soit entier
soit demi-entier. Selon la valeur du spin, les particules appartiennent à deux familles
différentes : les bosons si s est entier, et les fermions s’il est demi-entier. Par exemple,
l’électron qui a un spin égal à
1
2 est un fermion alors que le photon, qui a un spin égal
à 1, est un boson (le photon est néanmoins un cas un peu particulier comme nous le
verrons dans le chapitre 9). Les fermions et les bosons ont les propriétés suivantes :
• La fonction d’onde d’un système constitué de plusieurs fermions est antisymétrique
par rapport à l’échange de particules. Cela signifie que le signe de la fonction d’onde
change si l’on permute deux particules dans l’espace. Cette propriété implique que deux
particules ne peuvent pas être dans le même état quantique. C’est ce que l’on appelle
le principe d’exclusion de Pauli. On dit que les fermions obéissent à la statistique de
Fermi-Dirac. Un déterminant est un objet mathématique qui satisfait à ces propriétés :
si l’on permute deux lignes ou deux colonnes, le déterminant change de signe. Si deux
lignes ou deux colonnes sont identiques, le déterminant est nul. Ces propriétés d’antisymétrie font que la fonction d’onde totale d’un système de fermions peut parfois être
représentée par un déterminant.
• La fonction d’onde d’un système de bosons doit être symétrique par rapport à
l’échange de deux particules. Plusieurs bosons peuvent se trouver dans la même configuration quantique. On dit qu’ils obéissent à la statistique de Bose-Einstein.
2.2.2 Micro-états et spin
En mécanique quantique, un micro-état est déterminé par la donnée d’un ensemble complet de nombres quantiques qui permettent de préciser de manière unique la configuration du système. Revenons sur l’exemple d’une particule libre dans une boîte cubique
et supposons que celle-ci ait un spin s. Dans ce cas, la donnée des nombres quantiques
n x , n y et n z n’est plus suffisante pour décrire un micro-état. Il est nécessaire d’introduire
deux nombres quantiques supplémentaires : s et s z , où s z est la projection du spin sur
l’axe z. Nous savons que s z ne peut prendre que des valeurs comprises entre −s et +s par
sauts d’une unité. Il y a donc 2s + 1 valeurs possibles de s z .
• Pour une particule de spin nul, un micro-état est défini par la donnée de cinq
nombres quantiques : n x , n y , n z , s = 0 et s z = 0. Comme s et s z ont la même valeur pour
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
33
2.2 BOSONS ET FERMIONS
2.2.1 Définitions
La plupart des objets sont discernables au niveau macroscopique. Si ce n’est pas le
cas, on peut, sans changer aucunement leurs propriétés, les marquer pour pouvoir les
distinguer (boules de billard de couleurs différentes, par exemple). Ce n’est pas le cas
au niveau microscopique où toutes les particules de même nature sont indiscernables
et où il n’est pas possible de les « marquer » sans les perturber fortement. Ainsi, pour
distinguer deux atomes d’hydrogène, il faudrait modifier la structure de l’un d’entre eux
mais on n’aurait alors plus l’atome dans son état fondamental. L’expérience montre que
toutes les particules de la nature ont un spin s (exprimé en unités ) qui est soit entier
soit demi-entier. Selon la valeur du spin, les particules appartiennent à deux familles
différentes : les bosons si s est entier, et les fermions s’il est demi-entier. Par exemple,
l’électron qui a un spin égal à
1
2 est un fermion alors que le photon, qui a un spin égal
à 1, est un boson (le photon est néanmoins un cas un peu particulier comme nous le
verrons dans le chapitre 9). Les fermions et les bosons ont les propriétés suivantes :
• La fonction d’onde d’un système constitué de plusieurs fermions est antisymétrique
par rapport à l’échange de particules. Cela signifie que le signe de la fonction d’onde
change si l’on permute deux particules dans l’espace. Cette propriété implique que deux
particules ne peuvent pas être dans le même état quantique. C’est ce que l’on appelle
le principe d’exclusion de Pauli. On dit que les fermions obéissent à la statistique de
Fermi-Dirac. Un déterminant est un objet mathématique qui satisfait à ces propriétés :
si l’on permute deux lignes ou deux colonnes, le déterminant change de signe. Si deux
lignes ou deux colonnes sont identiques, le déterminant est nul. Ces propriétés d’antisymétrie font que la fonction d’onde totale d’un système de fermions peut parfois être
représentée par un déterminant.
• La fonction d’onde d’un système de bosons doit être symétrique par rapport à
l’échange de deux particules. Plusieurs bosons peuvent se trouver dans la même configuration quantique. On dit qu’ils obéissent à la statistique de Bose-Einstein.
2.2.2 Micro-états et spin
En mécanique quantique, un micro-état est déterminé par la donnée d’un ensemble complet de nombres quantiques qui permettent de préciser de manière unique la configuration du système. Revenons sur l’exemple d’une particule libre dans une boîte cubique
et supposons que celle-ci ait un spin s. Dans ce cas, la donnée des nombres quantiques
n x , n y et n z n’est plus suffisante pour décrire un micro-état. Il est nécessaire d’introduire
deux nombres quantiques supplémentaires : s et s z , où s z est la projection du spin sur
l’axe z. Nous savons que s z ne peut prendre que des valeurs comprises entre −s et +s par
sauts d’une unité. Il y a donc 2s + 1 valeurs possibles de s z .
• Pour une particule de spin nul, un micro-état est défini par la donnée de cinq
nombres quantiques : n x , n y , n z , s = 0 et s z = 0. Comme s et s z ont la même valeur pour
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.