8 • L’ensemble grand canonique
167
être g i fois dégénéré. Si la particule a un spin s, le degré de dégénérescence du niveau
´ i devient alors égale à (2s + 1)g i . Par conséquent, le nombre moyen de particules qui
occupent ce niveau d’énergie est égal à (2s + 1)g i.
Comme le nombre total de particules est égal à N, on doit avoir :
{i}
n i = N soit
{i}
= N
(46)
où la somme porte sur tous les micro-états à une particule {i}. Dans le cas de N particules
de spin s dans une boîte cubique, on peut écrire (46) sous la forme :
∞
nx=1
∞
ny=1
∞
nz=1
2s + 1
1 + exp
´ nxnynz − m
kT
=
∞
i=1
(2s + 1)g i
1 + exp
´ i − m
kT
(47)
où la dernière somme porte à présent sur les niveaux d’énergie i classés par ordre croissant et dont la dégénérescence est égale à (2s + 1)g i . L’équation (46), qui représente la
normalisation de la distribution de Fermi-Dirac, permet de déterminer de manière implicite le potentiel chimique du système. Dans le cas d’un système de fermions, m peut être
positif, négatif ou nul (cf. chapitre 9).
8.5 LA DISTRIBUTION DE BOSE-EINSTEIN
Nous allons à présent reprendre le problème précédent pour un gaz parfait constitué
de N bosons, i.e. de particules de spin entier ou nul. Nous allons évaluer la fonction
de partition grand canonique pour le sous-système du système total qui correspond à
un micro-état d’énergie ´ i . À la différence d’un système de fermions, il n’y a pas de
limitation quant au nombre de bosons pouvant occuper le micro-état i. L’équation (43)
devient donc :
z i =
∞
N=0
e b(mN − E N,i )
(48)
Si le niveau associé au micro-état i est ´ i nous avons :
E N,i = N´ i
(49)
car les particules sont indépendantes. L’énergie de N particules est donc la somme des N
énergies associées à ces particules qui sont ici supposées être dans le micro-état i. Donc :
z i =
∞
N=0
e bN(m − ´ i )
(50)
Le membre de droite de l’expression (50) est une progression géométrique de raison
exp b(m − ´ i ). Elle s’écrit explicitement :
z i = 1 + e b(m − ´ i ) + e 2b(m − ´ i ) + e 3b(m − ´ i ) + . . .
(51)
Cette série converge si exp b(m − ´ i ) < 1. Puisque cette condition doit être valable pour
tous les micro-états, cela signifie, si nous choisissons pour l’état d’énergie à une particule
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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être g i fois dégénéré. Si la particule a un spin s, le degré de dégénérescence du niveau
´ i devient alors égale à (2s + 1)g i . Par conséquent, le nombre moyen de particules qui
occupent ce niveau d’énergie est égal à (2s + 1)g i
Comme le nombre total de particules est égal à N, on doit avoir :
{i}
n i = N soit
{i}
(46)
où la somme porte sur tous les micro-états à une particule {i}. Dans le cas de N particules
de spin s dans une boîte cubique, on peut écrire (46) sous la forme :
∞
nx=1
∞
ny=1
∞
nz=1
2s + 1
1 + exp
´ nxnynz − m
kT
=
∞
i=1
(2s + 1)g i
1 + exp
´ i − m
kT
(47)
où la dernière somme porte à présent sur les niveaux d’énergie i classés par ordre croissant et dont la dégénérescence est égale à (2s + 1)g i . L’équation (46), qui représente la
normalisation de la distribution de Fermi-Dirac, permet de déterminer de manière implicite le potentiel chimique du système. Dans le cas d’un système de fermions, m peut être
positif, négatif ou nul (cf. chapitre 9).
8.5 LA DISTRIBUTION DE BOSE-EINSTEIN
Nous allons à présent reprendre le problème précédent pour un gaz parfait constitué
de N bosons, i.e. de particules de spin entier ou nul. Nous allons évaluer la fonction
de partition grand canonique pour le sous-système du système total qui correspond à
un micro-état d’énergie ´ i . À la différence d’un système de fermions, il n’y a pas de
limitation quant au nombre de bosons pouvant occuper le micro-état i. L’équation (43)
devient donc :
z i =
∞
N=0
e b(mN − E N,i )
(48)
Si le niveau associé au micro-état i est ´ i nous avons :
E N,i = N´ i
(49)
car les particules sont indépendantes. L’énergie de N particules est donc la somme des N
énergies associées à ces particules qui sont ici supposées être dans le micro-état i. Donc :
z i =
∞
N=0
e bN(m − ´ i )
(50)
Le membre de droite de l’expression (50) est une progression géométrique de raison
exp b(m − ´ i ). Elle s’écrit explicitement :
z i = 1 + e b(m − ´ i ) + e 2b(m − ´ i ) + e 3b(m − ´ i ) + . . .
(51)
Cette série converge si exp b(m − ´ i ) < 1. Puisque cette condition doit être valable pour
tous les micro-états, cela signifie, si nous choisissons pour l’état d’énergie à une particule
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.