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Physique statistique
8.4 LA DISTRIBUTION DE FERMI-DIRAC
Considérons un gaz parfait de fermions (particules de spin demi-entier), enfermé dans
un récipient dont les parois sont diathermes et fixes. Le gaz est en équilibre avec un
thermostat à la température T et on suppose que les fermions n’interagissent pas entre
eux (gaz parfait). Comme le système est en équilibre avec un thermostat, il peut échanger
de la chaleur avec ce dernier et sa température reste constante. Regardons à présent un
micro-état particulier i associé à une particule. Dans le cas particulier où le récipient est
une boîte cubique, cela revient à se donner les nombres quantiques n x , n y et n z , relatifs
au niveau d’énergie, et le couple s, s z correspondant au spin du ou des fermions étudiés.
Nous allons considérer ce micro-état particulier comme un sous-système du système
total. Le reste du système constitue un réservoir de chaleur et de particules pour le microétat i. La fonction de partition est définie de manière générale par l’expression :
J =
N
r
{j}
e b(mN r,{j} − E N,r )
(42)
Puisque l’ensemble r, {j} se réduit à un seul élément et que les particules sont des fermions, on ne peut pas mettre plus d’une particule dans le micro-état à une particule i,
d’énergie ´ i . Donc N ne peut prendre que deux valeurs : N = 0 et N = 1. Pour N = 0
il n’y a pas de particule dans le micro-état considéré et E 0,i = 0. Pour N = 1, il y a une
particule occupant le micro-état et son énergie vaut E 1,i = ´ i . La fonction de partition,
z i , associée au micro-état i s’écrit donc :
z i =
1
N=0
e b(mN − E N,i ) = 1 + e b(m − ´ i )
(43)
Le nombre moyen de fermions occupant le micro-état i peut être calculé soit directement :
=
1
z i
(0 × e
0 + 1 × e b(m − ´ i ) ) =
e b(m − ´ i )
z i
(44)
soit à partir de l’équation (39). Dans les deux cas on obtient :
=
1
exp
´ i − m
kT
+ 1
(45)
La distribution du nombre de fermions qui suit cette loi de probabilité s’appelle la distribution de Fermi-Dirac. Il est très important de noter que se rapporte au micro-état
à une particule i et non au niveau d’énergie i. En effet, pour des fermions de spin s, le
niveau d’énergie ´ i est 2s + 1 fois dégénéré à cause du spin. Ce niveau peut, par ailleurs,
être g i fois dégénéré.
Remarque. Nous avons déjà rencontré ce cas lors de l’étude d’une particule libre dans
une boîte cubique dans la section 2.1.3. Les niveaux d’énergie à une particule sont obtenus à partir de l’équation (2.6) qui fait intervenir la somme des carrés de trois nombres
quantiques : n x , n y et n z . Même pour des particules de spin nul, un niveau d’énergie peut
Physique statistique
8.4 LA DISTRIBUTION DE FERMI-DIRAC
Considérons un gaz parfait de fermions (particules de spin demi-entier), enfermé dans
un récipient dont les parois sont diathermes et fixes. Le gaz est en équilibre avec un
thermostat à la température T et on suppose que les fermions n’interagissent pas entre
eux (gaz parfait). Comme le système est en équilibre avec un thermostat, il peut échanger
de la chaleur avec ce dernier et sa température reste constante. Regardons à présent un
micro-état particulier i associé à une particule. Dans le cas particulier où le récipient est
une boîte cubique, cela revient à se donner les nombres quantiques n x , n y et n z , relatifs
au niveau d’énergie, et le couple s, s z correspondant au spin du ou des fermions étudiés.
Nous allons considérer ce micro-état particulier comme un sous-système du système
total. Le reste du système constitue un réservoir de chaleur et de particules pour le microétat i. La fonction de partition est définie de manière générale par l’expression :
J =
N
r
{j}
e b(mN r,{j} − E N,r )
(42)
Puisque l’ensemble r, {j} se réduit à un seul élément et que les particules sont des fermions, on ne peut pas mettre plus d’une particule dans le micro-état à une particule i,
d’énergie ´ i . Donc N ne peut prendre que deux valeurs : N = 0 et N = 1. Pour N = 0
il n’y a pas de particule dans le micro-état considéré et E 0,i = 0. Pour N = 1, il y a une
particule occupant le micro-état et son énergie vaut E 1,i = ´ i . La fonction de partition,
z i , associée au micro-état i s’écrit donc :
z i =
1
N=0
e b(mN − E N,i ) = 1 + e b(m − ´ i )
(43)
Le nombre moyen de fermions occupant le micro-état i peut être calculé soit directement :
1
z i
(0 × e
0 + 1 × e b(m − ´ i ) ) =
e b(m − ´ i )
z i
(44)
soit à partir de l’équation (39). Dans les deux cas on obtient :
1
exp
´ i − m
kT
+ 1
(45)
La distribution du nombre de fermions qui suit cette loi de probabilité s’appelle la distribution de Fermi-Dirac. Il est très important de noter que
à une particule i et non au niveau d’énergie i. En effet, pour des fermions de spin s, le
niveau d’énergie ´ i est 2s + 1 fois dégénéré à cause du spin. Ce niveau peut, par ailleurs,
être g i fois dégénéré.
Remarque. Nous avons déjà rencontré ce cas lors de l’étude d’une particule libre dans
une boîte cubique dans la section 2.1.3. Les niveaux d’énergie à une particule sont obtenus à partir de l’équation (2.6) qui fait intervenir la somme des carrés de trois nombres
quantiques : n x , n y et n z . Même pour des particules de spin nul, un niveau d’énergie peut