7 • Le gaz parfait classique
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g(E)dE est donc le nombre de particules par unité de volume qui ont une énergie cinétique comprise entre E et E + dE. On vérifie en particulier (en effectuant le changement
de variable
√
E = u) que :
∞
0
g(E)dE = r
(60)
et que :
=
1
r
∞
0
Eg(E)dE =
3
2
kT
(61)
ce qui est en accord avec l’expression (57).
7.5 ÉLÉMENTS DE THÉORIE CINÉTIQUE
La seule connaissance de la distribution de vitesse des particules peut permettre d’évaluer certaines propriétés du gaz de façon directe. La méthode qui va être décrite peut
paraître un peu lourde dans le cas d’un système en équilibre statistique car on peut alors
obtenir ces résultats beaucoup plus simplement en appliquant directement les méthodes
de la physique statistique décrites plus haut. L’intérêt de cette approche réside dans le
fait qu’elle peut être utilisée pour des distributions de vitesses qui ne sont pas des distributions d’équilibre pour autant qu’on les connaisse explicitement. Considérons un
gaz parfait classique, homogène, enfermé dans un récipient de volume V. Soit f (v)dv le
nombre de particules par unité de volume dont le vecteur vitesse est compris entre v et
v + dv. Nous allons calculer la pression s’exerçant sur les parois du récipient en utilisant
directement sa définition : c’est la force qui s’exerce par unité de surface. La relation
fondamentale de la dynamique :
F =
dp
dt
(62)
nous dit que cette force est égale à la variation d’impulsion par unité de temps. Dans le
cas d’un gaz enfermé dans un récipient, cette force est due aux chocs des molécules, ou
des atomes, qui rebondissent élastiquement sur la paroi. Pour évaluer F, il faut calculer
l’impulsion Dp que les molécules transfèrent à la paroi.
Avant de calculer F, nous allons, pour bien comprendre le principe de la méthode,
évaluer le flux de particules (nombre de particules par unité de temps et de surface) qui
frappent une surface donnée.
Considérons un élément de surface infinitésimal dS (figure 3) situé à l’intérieur du
récipient. Orientons cette surface (de gauche à droite sur la figure) à l’aide du vecteur
unitaire ˆ
n. Nous allons calculer le nombre de particules qui frappent l’élément de surface
dS en venant de la gauche.
Les particules dont la vitesse est comprise entre v et v + dv qui frappent dS pendant
le temps dt sont contenues dans un cylindre de génératrice parallèle à v, de longueur vdt,
dont la base est dS (figure 3). En effet, pendant un temps dt les particules de vitesse v
parcourent une distance vdt. Le volume de ce cylindre est égal à la surface de base dS
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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g(E)dE est donc le nombre de particules par unité de volume qui ont une énergie cinétique comprise entre E et E + dE. On vérifie en particulier (en effectuant le changement
de variable
√
E = u) que :
∞
0
g(E)dE = r
(60)
et que :
1
r
∞
0
Eg(E)dE =
3
2
kT
(61)
ce qui est en accord avec l’expression (57).
7.5 ÉLÉMENTS DE THÉORIE CINÉTIQUE
La seule connaissance de la distribution de vitesse des particules peut permettre d’évaluer certaines propriétés du gaz de façon directe. La méthode qui va être décrite peut
paraître un peu lourde dans le cas d’un système en équilibre statistique car on peut alors
obtenir ces résultats beaucoup plus simplement en appliquant directement les méthodes
de la physique statistique décrites plus haut. L’intérêt de cette approche réside dans le
fait qu’elle peut être utilisée pour des distributions de vitesses qui ne sont pas des distributions d’équilibre pour autant qu’on les connaisse explicitement. Considérons un
gaz parfait classique, homogène, enfermé dans un récipient de volume V. Soit f (v)dv le
nombre de particules par unité de volume dont le vecteur vitesse est compris entre v et
v + dv. Nous allons calculer la pression s’exerçant sur les parois du récipient en utilisant
directement sa définition : c’est la force qui s’exerce par unité de surface. La relation
fondamentale de la dynamique :
F =
dp
dt
(62)
nous dit que cette force est égale à la variation d’impulsion par unité de temps. Dans le
cas d’un gaz enfermé dans un récipient, cette force est due aux chocs des molécules, ou
des atomes, qui rebondissent élastiquement sur la paroi. Pour évaluer F, il faut calculer
l’impulsion Dp que les molécules transfèrent à la paroi.
Avant de calculer F, nous allons, pour bien comprendre le principe de la méthode,
évaluer le flux de particules (nombre de particules par unité de temps et de surface) qui
frappent une surface donnée.
Considérons un élément de surface infinitésimal dS (figure 3) situé à l’intérieur du
récipient. Orientons cette surface (de gauche à droite sur la figure) à l’aide du vecteur
unitaire ˆ
n. Nous allons calculer le nombre de particules qui frappent l’élément de surface
dS en venant de la gauche.
Les particules dont la vitesse est comprise entre v et v + dv qui frappent dS pendant
le temps dt sont contenues dans un cylindre de génératrice parallèle à v, de longueur vdt,
dont la base est dS (figure 3). En effet, pendant un temps dt les particules de vitesse v
parcourent une distance vdt. Le volume de ce cylindre est égal à la surface de base dS
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.