7 • Le gaz parfait classique
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où v, u et w représentent les coordonnées sphériques de v. On trouve :
g(v)dv = 4pv
2 f (v)dv = 4pr
m
2pkT
3/2
v
2 e
−
mv 2
2kT dv
(49)
on peut vérifier que cette distribution est normalisée à r :
∞
0
g(v)dv = r
(50)
g(v)dv est le nombre de particules par unité de volume dont le module de la vitesse est
compris entre v et v + dv. C’est une fonction positive telle que g(0) = g(∞) = 0. Par
conséquent, elle passe par un maximum qui correspond à la valeur la plus probable de la
distribution. Ce maximum est donné par :
dg(v)
dv
= 0
(51)
et vaut :
˜
v =
2kT
m
(52)
La valeur moyenne est donnée par :
=
1
r
∞
0
vg(v)dv = 4p
m
2pkT
3/2
∞
0
v
3 e
−
mv 2
2kT dv
(53)
ce qui vaut, compte tenu de l’annexe A3.3 :
= 4p
m
2pkT
3/2 1
2
2kT
m
2
=
8
p
kT
m
(54)
Il est important de noter que la valeur moyenne et la valeur la plus probable ˜
v sont
différentes. Ceci est illustré sur la figure 2. Calculons à présent :
2
>=
1
r
∞
0
v
2 g(v)dv = 4p
m
2pkT
3/2
∞
0
v
4 e
−
mv 2
2kT dv
(55)
soit :
2
>= 4p
m
2pkT
3/2 3
8
√
p
2kT
m
5/2
=
3kT
m
(56)
On constate que
=
3kT
m
, et ˜
v sont différents. On vérifie que l’on retrouve
le même résultat que précédemment pour l’énergie moyenne :
1
2
m 2
>=
1
2
m 2
>=
3
2
kT
(57)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.