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Physique statistique
6.5 RELATION ENTRE Z ET LES GRANDEURS
THERMODYNAMIQUES
La fonction de partition dépend de b (donc de T) et des niveaux d’énergie à N particules.
Ceux-ci dépendent du volume V et du nombre de particules N. Par conséquent :
Z = Z(T, V, N)
(73)
Nous allons voir que si l’on connaît la fonction de partition d’un système, on peut calculer toutes ses propriétés thermodynamiques.
Remarque. Dans la suite, nous utiliserons parfois, pour alléger les notations, des dérivées
partielles sans indiquer les variables qui sont maintenues constantes. Les trois variables
utilisées étant T ,V et N, une dérivée partielle par rapport à l’une d’entre elles signifie que
les autres sont maintenues constantes.
6.5.1 L’énergie interne
Travaillons à volume et nombre de particules constants pour que les niveaux d’énergie
restent inchangés. L’énergie interne est la valeur moyenne de l’énergie prise sur l’ensemble canonique. La probabilité P(E r ) d’obtenir le niveau d’énergie E r est égale à :
P(E r ) =
{j} e −bE r
Z
=
g r e −bE r
Z
(74)
L’énergie moyenne vaut donc :
=
r
E r P(E r ) =
1
Z
r
{j}
E r e −bE r
(75)
En remarquant que :
r
{j}
E r e −bE r = −
r
{j}
∂
∂b
e −bE r = −
∂
∂b
r
{j}
e −bE r = −
∂
∂b
Z (76)
On trouve :
= −
1
Z
∂Z
∂b
V,N
= −
∂ Log Z
∂b
V,N
(77)
Comme b =
1
kT
, on en déduit :
∂
∂b
= −kT
2 ∂
∂T
ou
∂
∂T
= −
1
kT 2
∂
∂b
(78)
Ce qui permet d’écrire l’équation (77) sous la forme :
= kT
2
∂
∂T
Log Z
V,N
(79)