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Physique statistique
Lorsque l’énergie du système S est égale à E r , celle du thermostat T est égale à E T .
Dans la limite thermodynamique, que nous supposerons toujours satisfaite, l’énergie des
deux systèmes est additive :
E 0 = E T + E r
(1)
La probabilité d’obtenir S dans le micro-état r{j} vaut :
P r{j} =
1 × V T (E 0 − E r )
V T
(2)
où V T (E 0 − E r ) est le nombre de micro-états accessibles à T dont l’énergie est
E T = E 0 − E r . La quantité au dénominateur, V T , est une constante égale au nombre total
de micro-états accessibles au système total S + T :
V T =
r{j}
V T (E 0 − E r ) =
1
C
(3)
donc :
P r{j} = C
V T (E 0 − E r )
( 4 )
La distribution de probabilité, P r{j} , doit être normalisée :
r
{j}
P r{j} = 1
(5)
Comme le thermostat a un nombre de degrés de liberté beaucoup plus grand que S, on
a : E r E T . Par conséquent, on a aussi E r E 0 . Ceci va nous permettre de développer
la fonction Log V T (E 0 − E r ) (qui varie dans le même sens que V T (E 0 − E r ), mais
beaucoup plus lentement) au voisinage de E 0 :
Log V T (E 0 − E r ) = Log V T (E 0 ) −
∂ Log V T
∂E
E=E 0
E r + ...
(6)
et de nous restreindre au premier ordre. La dérivée partielle intervenant dans l’expression
ci-dessus est évaluée à volume et nombre de particules constants. D’après les équations
(4.17-4.18), elle est reliée à la température T du thermostat, qui est constante, par :
∂ Log V T
∂E
V,N
=
1
kT
= b
(7)
Donc :
Log V T (E 0 − E r ) = Log V T (E 0 ) − bE r
(8)
soit :
V T (E 0 − E r ) = V T (E 0 ) e −bE r
(9)
La quantité V T (E 0 ) est une constante, ce qui signifie que l’expression (2) peut être écrite
sous la forme :
P r{j} = C e −bE r
(10)