4.3 Three-Dimensional Pebble Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.3.1 Voidage Distributions in HTR-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.3.2 3D Pebble Flow in HTR-PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5 Numerical Models for Pebble-Bed Heat Transfer . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2 Continuum Modeling of Pebble Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2.1 Uniform Effective Thermal Conductivity (uETC) . . . . . . . 238
5.2.2 Approximation Function Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.2.3 Short Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3 Discrete Modeling of Pebble Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3.1 Voronoï Cells and Cutoff Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3.2 Short-Range Radiation Model (SRM) . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.3.3 Short-Range Radiation Model Plus (SRM+) . . . . . . . . . . 265
5.3.4 Long-Range Radiation Model (LRM) . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.3.5 Microscopic Scale Model (MSM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.3.6 Overall Effective Thermal Conductivity at k s k r . . . . . . 270
5.3.7 Semi-Empirical Radiation Model (SEM) . . . . . . . . . . . . . 272
5.3.8 Sub-Cell Radiation Model (SCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.3.9 Application of SCM for Pebble Beds . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.3.10 Application of SCM for Clumped-Pebbles . . . . . . . . . . . . 292
5.3.11 Short Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.4 CFD-DEM Coupled Simulation and Development . . . . . . . . . . . . 308
5.4.1 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.4.2 Heat Transfer Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.4.3 Smoothed Void Fraction Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.4.4 Benchmark Problem of HTR-10 Reactor . . . . . . . . . . . . . 333
5.4.5 Short Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.5 Further Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
5.5.1 Evaluation of Emissivity Effects in Four Radiation
Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
5.5.2 Mechanism of Contact Thermal Resistance . . . . . . . . . . . 360
5.5.3 Efficient Computing of View Factor . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.5.4 Short Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
5.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6 Applications: Two-Region Pebble Beds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.1 Experimental Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.1.1 The Size of the Two Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
6.1.2 Equilibrium Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.1.3 Flow Field in the Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
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4.3.1 Voidage Distributions in HTR-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.3.2 3D Pebble Flow in HTR-PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5 Numerical Models for Pebble-Bed Heat Transfer . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2 Continuum Modeling of Pebble Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2.1 Uniform Effective Thermal Conductivity (uETC) . . . . . . . 238
5.2.2 Approximation Function Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.2.3 Short Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3 Discrete Modeling of Pebble Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3.1 Voronoï Cells and Cutoff Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3.2 Short-Range Radiation Model (SRM) . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.3.3 Short-Range Radiation Model Plus (SRM+) . . . . . . . . . . 265
5.3.4 Long-Range Radiation Model (LRM) . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.3.5 Microscopic Scale Model (MSM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.3.6 Overall Effective Thermal Conductivity at k s k r . . . . . . 270
5.3.7 Semi-Empirical Radiation Model (SEM) . . . . . . . . . . . . . 272
5.3.8 Sub-Cell Radiation Model (SCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.3.9 Application of SCM for Pebble Beds . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.3.10 Application of SCM for Clumped-Pebbles . . . . . . . . . . . . 292
5.3.11 Short Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.4 CFD-DEM Coupled Simulation and Development . . . . . . . . . . . . 308
5.4.1 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.4.2 Heat Transfer Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.4.3 Smoothed Void Fraction Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.4.4 Benchmark Problem of HTR-10 Reactor . . . . . . . . . . . . . 333
5.4.5 Short Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.5 Further Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
5.5.1 Evaluation of Emissivity Effects in Four Radiation
Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
5.5.2 Mechanism of Contact Thermal Resistance . . . . . . . . . . . 360
5.5.3 Efficient Computing of View Factor . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.5.4 Short Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
5.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6 Applications: Two-Region Pebble Beds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.1 Experimental Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.1.1 The Size of the Two Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
6.1.2 Equilibrium Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.1.3 Flow Field in the Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
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