7 En choisissant une onde monochromatique de la forme w = w 0 exp(kx − v t ), les relations de dispersionsont :
a. v =
b / ak.L ap ropagationest non dispersivecar la vitesse de phase
b / a ne
dépend ni de la pulsationniduvecteur d’onde.
b. v
2
= c
2
k
2
(1 − a k
2
). La propagationest dispersive.
c. v
2
/ c
2
− k
2
+ i bv = 0. La propagationest dispersive. De plus la relationdedispersion
estcomplexe. La dérivationd’une telle équationest présentée dans le chapitre4et
représente la propagationd’une onde dans une corde amortie.
Exercicesd’approfondissement
8 Relation de Rayleigh entrelavitesse de phase et la vitesse de groupe
En toute généralité, on sait que la pulsation et le vecteur d’onde sont reliés parlarelation
de dispersion. Àp artir de l’écriture v = v ( k ), et avec les définitions de v f et v g ,o n
peut calculer
∂ v f
∂ k
=
∂
∂ k
v
k
=
1
k
v g −
v
k 2
et donc on montre que
v g = v f + k
∂ v f
∂ k
.
On peut également calculer
∂ v f
∂ v
=
∂
∂ v
v
k
=
1
k
−
v
k 2
1
v g
et donc
v g = v f (1 −
v
v f
∂ v f
∂ v
)
− 1
.
9 Ondes de surface
Pour une hauteurd’eau très importante (par exemple au milieudel’océan Atlantique),
le nombre kh esttrès grand devant l’unité et on peut écrire tanh( kh) ≈ 1. Dans ce cas,
la relationdedispersion se réduitàv =
gk et lesvitessesdephaseetdegroupe sont
respectivement :
v f =
g
k
, v g =
1
2
g
k
=
1
2
v w
( kh 1).
Dansl ec as d’une eau peu profonde (faibleh auteurd ’eau comparée àl al ongueur
d’onde), la fonctiont angenteh yperbolique peut se développer au premier ordre
tanh(kh) ≈ kh + ....L ar elationd edispersionest donc v =
ghk et les vitesses de
phaseetdegroupe sont égales :
v f = v g =
gh
( kh 1).
On peut remarquer que lesvagues en eau profonde sont dispersives alors queles vagues
en eau peu profonde sont non dispersives.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Corrigés 73