108 Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
3 Pour une membraner ectangulaire en vibrationa vecu nc ôtép lusg rand que
l’autre,lafréquence fondamentaledevibrationdépend :
a. principalement de la longueur du petit côté.
b. principalement de la longueur du grand côté.
c. de la même façon des longueursdes côtés.
Exercicesd’application
4
•
Calculer la vitesse de propagationd es ondes transversesp our une corde de
piano en acier,s upposée non rigidee tn on amortie.L at ension est de 900 N,
et la cordeaundiamètre de 3mm.
5
••
Donner l’expression de la tension le long d’une corde verticaledelongueur L
attachée àson extrémité supérieureetsoumiseàla gravité.
Exercicesd’approfondissement
6 Vibrations d’une corde réelle
••
On considèreune corde réelle tendue entre deux pointssans négliger ni la rigidité ni l’amortissement dû au fluide environnant.L ’équationd em ouvement
d’un élément de cordedelongueur dx et de poids dm est
dm
∂
2
u
∂ t 2 = T 0
∂
2
u
∂ x 2 dx − C hp
∂ u
∂ t
dx − K
∂
4
u
∂ x 4 dx.
a. Àpartir de cette équation, déterminer la relationdedispersion.
b. On considèreensuite des modes stationnairesdelaforme
u ( x , t ) = A 0 sin(kx)exp( i v t ) ,
avec k = n p / L .Lapulsationest complexe v = v r + i v i .Déterminer v r ( k )
et v i .
c. Commenter l’effet de l’amortissement et de la rigidité sur la pulsation v r .
7 Mode fondamental de vibrationd’une membrane triangulaire
••
Àp artir de l’observationd es lignes nodales d’un membrane carréee nm ode
2, calculer la fréquence fondamentaledev ibrationd ’une membranedef orme
triangulaire isocèlerectangledecôté a .
8 Vibrationd’une poutre doublement encastrée
•••
En reprenant le raisonnement développé pour la poutre mono-encastrée, déterminer lespulsations de vibrationd’une poutre encastréeaux deux extrémités.
3 Pour une membraner ectangulaire en vibrationa vecu nc ôtép lusg rand que
l’autre,lafréquence fondamentaledevibrationdépend :
a. principalement de la longueur du petit côté.
b. principalement de la longueur du grand côté.
c. de la même façon des longueursdes côtés.
Exercicesd’application
4
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Calculer la vitesse de propagationd es ondes transversesp our une corde de
piano en acier,s upposée non rigidee tn on amortie.L at ension est de 900 N,
et la cordeaundiamètre de 3mm.
5
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Donner l’expression de la tension le long d’une corde verticaledelongueur L
attachée àson extrémité supérieureetsoumiseàla gravité.
Exercicesd’approfondissement
6 Vibrations d’une corde réelle
••
On considèreune corde réelle tendue entre deux pointssans négliger ni la rigidité ni l’amortissement dû au fluide environnant.L ’équationd em ouvement
d’un élément de cordedelongueur dx et de poids dm est
dm
∂
2
u
∂ t 2 = T 0
∂
2
u
∂ x 2 dx − C hp
∂ u
∂ t
dx − K
∂
4
u
∂ x 4 dx.
a. Àpartir de cette équation, déterminer la relationdedispersion.
b. On considèreensuite des modes stationnairesdelaforme
u ( x , t ) = A 0 sin(kx)exp( i v t ) ,
avec k = n p / L .Lapulsationest complexe v = v r + i v i .Déterminer v r ( k )
et v i .
c. Commenter l’effet de l’amortissement et de la rigidité sur la pulsation v r .
7 Mode fondamental de vibrationd’une membrane triangulaire
••
Àp artir de l’observationd es lignes nodales d’un membrane carréee nm ode
2, calculer la fréquence fondamentaledev ibrationd ’une membranedef orme
triangulaire isocèlerectangledecôté a .
8 Vibrationd’une poutre doublement encastrée
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En reprenant le raisonnement développé pour la poutre mono-encastrée, déterminer lespulsations de vibrationd’une poutre encastréeaux deux extrémités.