4.4V ibration des poutres 103
Pour résoudrecette équationdem ouvement,onchoisitdeposer une hypothèse de
vibrationinertielle :
g
∂
2
y
∂ t 2
,
(4.34)
donc de négliger le rôle de la gravité.Onréécrit l’équation(4.33) sous la forme
∂
4
y
∂ x 4 +
1
c 2
c r 2
g
∂
2
y
∂ t 2 ,
(4.35)
avec c c =
E / r ,lavitesse des ondes de compression (voir§4.1) et r g le rayon de
giration .
Définition
Le rayondegiration d’une poutre de section S et de moment d’inertie I est
r g =
I
S
.
(4.36)
Ce rayon correspond au rayon du disque qui al em ême moment d’inertie I que
la sectiondelapoutre.
L’équationdelapoutre vibrante(4.35)n’est pas une équationd’onde classique. La
dérivée en espace est d’ordre4et correspond au carré de l’opérateur laplacien ;c’est
la conséquence de la priseencomptedelarigidité de la poutre.
Pour une poutre «courte »( un plongeoirpar exemple),tous lespointsdelapoutre
vibrentenphase, seule l’amplitude du mouvementdépenddelaposition x par rapport
au support. On va donc chercher des solutions du type
y ( x , t ) = A ( x ) e
i v t
,
et l’amplitude est décrite parl’équation
d
4
A
dx 4 −
v
2
c 2
c r 2
g
A = 0 .
(4.37)
Cette équationadmet des solutions caractéristiques de type A 0 e
mx
,a vecunexposant
m telque m
4
= v
2
/ ( c
2
c r
2
g ). Il yadonc 4solutions possibles,etlasolutiongénéraleest
A ( x ) = A 1 e
a x
+ A 2 e
− a x
+ A 3 e
i a x
+ A 4 e
− i a x
= B 1 cosh a x + B 2 sinh a x + B 3 cos a x + B 4 sin a x ,
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