102 Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
4.4.2 Forme d’une poutremono-encastrée
On cherche la formed ’une poutre dont une extrémité est encastréedans un mur et
l’autre extrémité est libre.L es conditions auxl imitesq ui s’appliquent àl ’équation
(4.25) sont :
y = 0e n x = 0 ,
dy/ dx = 0e n x = 0 ,
d
2
y / dx
2
= 0e n x = L ,
d
3
y / dx
3
= 0e n x = L .
La formedelapoutre est donc donnée par
y ( x ) =
a
2
x
2
x
2
12
−
Lx
3
+
L
2
2
(4.31)
et on peut calculer la flèche,déviationmaximumpar rapportàl’horizontale:
f = y ( L ) =
aL
4
8
.
Encart 4.8 Détermination du moduleélastique d’un matériau
La mesuredirectedumoduleélastique d’un matériaunécessite un matérielde
précision car la déformationr elativee st en général trèsf aible( de l’ordre de
quelques m m/m).M aisg râce au calcul de la flèche d’une poutre encastréeà
une extrémité,ilest facile de mesurer cette flèche et,connaissant lescaractéristiques géométriques de la poutre,onpeut obtenir
E =
1
8
S r gL
4
If
.
4.4.3 Vibration de la poutremono-encastrée
Quand la poutre est en mouvement,onrajouteunterme d’accélérationàl’équation
statique (4.28),cequi donne
d
2
C
dx 2 = r S
g −
∂
2
y
∂ t 2
.
(4.32)
En introduisant l’expression du couple C obtenue aux équations (4.29) et (4.30),on
obtient l’équationdelapoutre vibrante:
∂
4
y
∂ x 4 +
r S
EI
∂
2
y
∂ t 2 − g
= 0 .
(4.33)