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Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
incommensurables, c’est-à-dire que le rapportdes deux n’est pas une fraction
de deux entiers,alors aucune paire des valeurs m et n ne peut donner la même
pulsation.
Si au contraire lescarrésdes longueurs L
2
x et L
2
y sont commensurables,alors
lesp aires( m , n )e t( n , m )c orrespondent àl am ême pulsation. Géométriquement ces modes sont différentsmaisp artagent la même fréquence. On parle
de modes dégénérés.T outes lesm embranes rectangulairesa vecu nr apport
d’aspect r entiercomportent des modes dégénérés.
Commepour la corde, une membranevibranteenmode monochromatique est caractérisée par des pointsd’élévationnulle.Ces pointsforment des lignes appelées lignes
nodales.
Définition
Une ligne nodale est l’ensembledes pointsdelamembrane qui ont une élévation
nulle àt out instant,e nd ehorsd uc adre. Pour une membrane rectangulaire en
mode de vibration(m , n )non dégénéré, il existe m + n − 2lignes nodales.
Pour unemembranerectangulaire en mode ( m , n )non dégénéré, il yam − 1lignes
nodales parallèlesàl ’axe y et n − 1l ignes nodales parallèlesàl ’axe x .L am embrane est donc fractionnée en m × n rectangles de surfaces égales et de dimension
( L x / m ) × ( L x / n ).
4.3.3 Membranes carrées
On peut rencontrerdes cas particuliers intéressantsquand lesdeux côtés sont égaux :
L x = L y .D ef açon évidente, lesm odes ( m , n )e t( n , m )o nt la même fréquence,
mêmes ’ils sont différentsg éométriquement.Les modes tels que m
= n sont donc
dégénérés. La superpositiondedeuxmodesdégénérés peut s’écrire
z ( x , y , t ) = cos( v mn t )
A mn sin
m p x
L x
sin
n p y
L x
+ A nm sin
n p x
L x
sin
m p y
L x
,
car la linéarité de l’équation d’onde autorise la superposition dessolutions.
Exemple :m odes(12) et (21)
Une membrane excitéeàla fréquence v = v 12 = v 21 aune amplitude de la forme
A ( x , y ) = A 12 sin
p x
L x
sin
2 p y
L x
+ A 21 sin
2 p x
L x
sin
p y
L x
.
Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
incommensurables, c’est-à-dire que le rapportdes deux n’est pas une fraction
de deux entiers,alors aucune paire des valeurs m et n ne peut donner la même
pulsation.
Si au contraire lescarrésdes longueurs L
2
x et L
2
y sont commensurables,alors
lesp aires( m , n )e t( n , m )c orrespondent àl am ême pulsation. Géométriquement ces modes sont différentsmaisp artagent la même fréquence. On parle
de modes dégénérés.T outes lesm embranes rectangulairesa vecu nr apport
d’aspect r entiercomportent des modes dégénérés.
Commepour la corde, une membranevibranteenmode monochromatique est caractérisée par des pointsd’élévationnulle.Ces pointsforment des lignes appelées lignes
nodales.
Définition
Une ligne nodale est l’ensembledes pointsdelamembrane qui ont une élévation
nulle àt out instant,e nd ehorsd uc adre. Pour une membrane rectangulaire en
mode de vibration(m , n )non dégénéré, il existe m + n − 2lignes nodales.
Pour unemembranerectangulaire en mode ( m , n )non dégénéré, il yam − 1lignes
nodales parallèlesàl ’axe y et n − 1l ignes nodales parallèlesàl ’axe x .L am embrane est donc fractionnée en m × n rectangles de surfaces égales et de dimension
( L x / m ) × ( L x / n ).
4.3.3 Membranes carrées
On peut rencontrerdes cas particuliers intéressantsquand lesdeux côtés sont égaux :
L x = L y .D ef açon évidente, lesm odes ( m , n )e t( n , m )o nt la même fréquence,
mêmes ’ils sont différentsg éométriquement.Les modes tels que m
= n sont donc
dégénérés. La superpositiondedeuxmodesdégénérés peut s’écrire
z ( x , y , t ) = cos( v mn t )
A mn sin
m p x
L x
sin
n p y
L x
+ A nm sin
n p x
L x
sin
m p y
L x
,
car la linéarité de l’équation d’onde autorise la superposition dessolutions.
Exemple :m odes(12) et (21)
Une membrane excitéeàla fréquence v = v 12 = v 21 aune amplitude de la forme
A ( x , y ) = A 12 sin
p x
L x
sin
2 p y
L x
+ A 21 sin
2 p x
L x
sin
p y
L x
.