Contents
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Memristor Cellular Neural Networks Computing in the
Flux-charge Domain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.2
Memristor Neural Network Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.2.1
HP Memristors in Antiparallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.2.2
Cell and Interconnecting Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
9.3
Convergence Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.3.1
Voltage-Current Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.4
Applications to Image Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.4.1
Horizontal Line Detection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.4.2
Hole Filling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
9.5
Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10 Extended Memristor Devices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.1 A Class of Extended Memristors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.1.1 Examples of Extended Memristors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.2 Simple Circuit with C and an Extended Memristor . . . . . . . . . . . . . . . . 382
10.3 An L − C Circuit with an Extended Memristor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
11 Nonlinear Dynamics of Circuits with Mem-Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
11.1 Nonlinear Circuits with Mem-Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11.2 Motivating Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.2.1 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.2.2 Invariant Manifolds, Coexisting Dynamics, and
Bifurcations Without Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.2.3 Programming the Circuit Dynamics via Input Pulses . . . . . 395
11.3 Classes LME and LME of Nonlinear Circuits with
Mem-Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
11.4 Constitutive Relations of Two-Terminal Elements in LME . . . . . . . 399
11.4.1 Memristor M ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
11.4.2 Memristor M q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
11.4.3 Memcapacitor MC σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
11.4.4 Meminductors ML ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
11.5 State Equations and Nonlinear Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
11.5.1 Invariant Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.5.2 Coexisting Dynamics and Bifurcations Without
Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11.6 Chaotic Circuit with Memcapacitor and Memristor . . . . . . . . . . . . . . . . 411
11.7 Examples Concerning Class LME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.7.1 Charge-Controlled Nonlinear Capacitor C q . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.7.2 Flux-Controlled Nonlinear Inductor L ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.8 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
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Flux-charge Domain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
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Memristor Neural Network Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.2.1
HP Memristors in Antiparallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.2.2
Cell and Interconnecting Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
9.3
Convergence Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.3.1
Voltage-Current Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.4
Applications to Image Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.4.1
Horizontal Line Detection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.4.2
Hole Filling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
9.5
Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10 Extended Memristor Devices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.1 A Class of Extended Memristors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.1.1 Examples of Extended Memristors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.2 Simple Circuit with C and an Extended Memristor . . . . . . . . . . . . . . . . 382
10.3 An L − C Circuit with an Extended Memristor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
11 Nonlinear Dynamics of Circuits with Mem-Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
11.1 Nonlinear Circuits with Mem-Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11.2 Motivating Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.2.1 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.2.2 Invariant Manifolds, Coexisting Dynamics, and
Bifurcations Without Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.2.3 Programming the Circuit Dynamics via Input Pulses . . . . . 395
11.3 Classes LME and LME of Nonlinear Circuits with
Mem-Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
11.4 Constitutive Relations of Two-Terminal Elements in LME . . . . . . . 399
11.4.1 Memristor M ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
11.4.2 Memristor M q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
11.4.3 Memcapacitor MC σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
11.4.4 Meminductors ML ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
11.5 State Equations and Nonlinear Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
11.5.1 Invariant Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.5.2 Coexisting Dynamics and Bifurcations Without
Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11.6 Chaotic Circuit with Memcapacitor and Memristor . . . . . . . . . . . . . . . . 411
11.7 Examples Concerning Class LME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.7.1 Charge-Controlled Nonlinear Capacitor C q . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.7.2 Flux-Controlled Nonlinear Inductor L ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.8 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430