solutions des exercices
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2. Distance focale : par définition de la parabole, MF = MH. Soit OF = f et OF
= −f .
z
Z
R
r
O
Avec les coordonnées (x, y) de M, cette relation s’écrit aussi :
x 2 1 (y − f ) 2 = y 1 f
d’où x
2 = 4fy. En posant y(x) = ax
2 ,
on obtient la distance focale de la parabole
f = 1/(4a).
3. La profondeur Z de la cavité est telle que Z = z(R) = v
2
·R
2 /(2g). Mais z(r) = r
2 /(4f )
d’où Z = R
2 /(4f ) et f = g/(2v
2 )
A.N. 2R = 8,20 m et v = 7,3 tours/min = 0,76 rad/s d’où f = 8,4 m et Z = 0,50 m
(la profondeur relative est faible : Z/(2R) ≈ 0,06 soit 6 %).
4. Les avantages techniques d’un tel miroir en galette mince (un ménisque) sont nombreux :
faible poids, construction assez « rapide », le paraboloïde obtenu étant presque parfait (au
bout d’un mois), il suffit de polir localement les petits défauts éventuels. Les 4 miroirs
du télescope européen VLT (Very Large Telescope) installé dans les Andes chiliennes à
2600 m d’altitude sont construits selon ce procédé. Le ménisque de verre de 23 tonnes
a un diamètre de 8,2 m et une épaisseur de 17 cm seulement. Il est maintenu par des
vérins qui permettent de conserver la forme parabolique quand on incline le miroir lors des
observations. Ce sont actuellement les plus grands télescopes optiques en un seul morceau.
z
z
z'
z
K
horizon
Terre
atmosphère
vide
1
n
18 La distance zénithale vraie de l’astre
est z
= z 1 R. À cause de l’atmosphère,
on mesure la distance zénithale apparente
z = z
− R.
Dans le modèle simplifié de l’atmosphère
plane et homogène, tout se passe comme
si on avait une lame à faces parallèles. Le
rayon lumineux arrive, hors de l’atmosphère
sous l’incidence z’ et pénètre dans l’atmosphère d’indice n. Au point K, la réfraction se traduit par 1 3 sin(z
) = n · sin(z).
D’où :
n · sin(z) = sin(z 1 R) = sin(z) · cos(R) 1 cos(z) · sin(R)
Comme R 1 rad, la relation s’écrit :
n · sin(z) ≈ sin(z) 1 R · cos(z)
soit R ≈ (n − 1) · tan(z).
En passant des radians aux secondes de degré, R(rad) = R(
) 3 2 · 10
5 (où
2 · 10
5
≈ 360 · 180/p). Avec n = 1,0003 on obtient :
R(
) ≈ 0,0003 3 2 · 10
5 3 tan(z) ≈ 60. tan(z).
10. ASTRONOMIE
793
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2. Distance focale : par définition de la parabole, MF = MH. Soit OF = f et OF
= −f .
z
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O
Avec les coordonnées (x, y) de M, cette relation s’écrit aussi :
x 2 1 (y − f ) 2 = y 1 f
d’où x
2 = 4fy. En posant y(x) = ax
2 ,
on obtient la distance focale de la parabole
f = 1/(4a).
3. La profondeur Z de la cavité est telle que Z = z(R) = v
2
·R
2 /(2g). Mais z(r) = r
2 /(4f )
d’où Z = R
2 /(4f ) et f = g/(2v
2 )
A.N. 2R = 8,20 m et v = 7,3 tours/min = 0,76 rad/s d’où f = 8,4 m et Z = 0,50 m
(la profondeur relative est faible : Z/(2R) ≈ 0,06 soit 6 %).
4. Les avantages techniques d’un tel miroir en galette mince (un ménisque) sont nombreux :
faible poids, construction assez « rapide », le paraboloïde obtenu étant presque parfait (au
bout d’un mois), il suffit de polir localement les petits défauts éventuels. Les 4 miroirs
du télescope européen VLT (Very Large Telescope) installé dans les Andes chiliennes à
2600 m d’altitude sont construits selon ce procédé. Le ménisque de verre de 23 tonnes
a un diamètre de 8,2 m et une épaisseur de 17 cm seulement. Il est maintenu par des
vérins qui permettent de conserver la forme parabolique quand on incline le miroir lors des
observations. Ce sont actuellement les plus grands télescopes optiques en un seul morceau.
z
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z'
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Terre
atmosphère
vide
1
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18 La distance zénithale vraie de l’astre
est z
= z 1 R. À cause de l’atmosphère,
on mesure la distance zénithale apparente
z = z
− R.
Dans le modèle simplifié de l’atmosphère
plane et homogène, tout se passe comme
si on avait une lame à faces parallèles. Le
rayon lumineux arrive, hors de l’atmosphère
sous l’incidence z’ et pénètre dans l’atmosphère d’indice n. Au point K, la réfraction se traduit par 1 3 sin(z
) = n · sin(z).
D’où :
n · sin(z) = sin(z 1 R) = sin(z) · cos(R) 1 cos(z) · sin(R)
Comme R 1 rad, la relation s’écrit :
n · sin(z) ≈ sin(z) 1 R · cos(z)
soit R ≈ (n − 1) · tan(z).
En passant des radians aux secondes de degré, R(rad) = R(
) 3 2 · 10
5 (où
2 · 10
5
≈ 360 · 180/p). Avec n = 1,0003 on obtient :
R(
) ≈ 0,0003 3 2 · 10
5 3 tan(z) ≈ 60. tan(z).
10. ASTRONOMIE
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