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2. La rotation de la Terre impose que l’on ait toujours g G ; l’écart relatif sur la valeur
du champ de pesanteur, dû à la rotation de la Terre vaut :
Dg
g
≈
V
2 r
G
cos
2 l
À l’équateur, cet écart est maximal :
Dg
g
≈ 0,35 %.
Sous les latitudes de la France métropolitaine :
Dg
g
≈ 0,175 %, avec l = 45
◦ .
3. Soit ´ l’angle entre les directions de
− →
G (M) et − → g (M) ; en effectuant le produit
vectoriel par − → g de chaque côté de l’égalité
− →
G = − → g 1 − → a , et en prenant la norme,
on a :
− → g ∧
− →
G
= − → g ∧ − → a , ce qui conduit à : gG |sin ´| = ga
sin(
− → g , − → a )
, où
(
− → g , − → a ) désigne l’angle entre − → g et − → a . Si on se limite à l’hémisphère nord, convenant que
0 l
p
2
et ´ 0, on peut écrire : gG sin ´ = ga |sin(p − (l 1 ´))| = ga sin(l 1 ´)
L’angle ´ étant petit, on peut ne garder que les termes du premier ordre en ´ dans cette égalité, de sorte que G sin ´ = a (sin l cos ´ 1 cos l sin ´) ⇒ G ´ ≈ V
2 r cos l (sin l 1 ´ cos l)
L’expression de l’angle entre les directions de
− →
G (M) et − → g (M) est alors :
´ ≈
V
2 r cos l sin l
G − V 2 r cos 2 l
≈
V
2 r
2G
sin 2l
r étant fixé, cet angle est maximal lorsque l = 45
◦ ; à la surface de la terre, il vaut, dans
ces conditions ´ ≈ 1,74.10
−3 rad ≈ 0,1
◦ .
8 1. L’expression de la force d’inertie de Coriolis est
− →
f ic (M) = −2m
− →
V ∧
d
− − →
OM
dt
Rt
,
où
− →
V désigne le vecteur rotation de la Terre sur elle même. Il importe tout d’abord d’exprimer
− →
V dans le repère lié au référentiel tangent R t ; comme il est parallèle à la direction
de l’axe des pôles, il est contenu dans le plan Oyz, et
− →
V = V
cos l − → u y 1 sin l − → u z
2.a. Pour un wagon se déplaçant dans l’hémisphère Nord, du Nord au Sud le long d’un
méridien dans le référentiel terrestre, on a localement
− →
V (M) = −V − → u y , (où V > 0), soit :
− →
f ic (M) = −2mVV sin l − → u x
Cette force a donc la direction du parallèle local et est dirigée d’Est en Ouest. Pour un
wagon de masse égale à 20 tonnes se déplaçant à 300 km/h on trouve
− →
f ic (M)
= 172 N
pour l = 45
◦ . Si une voie de chemin de fer est empruntée toujours dans le même sens,
ce sera donc le rail de droite dans l’hémisphère Nord et celui de gauche dans l’hémisphère
Sud.
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2. La rotation de la Terre impose que l’on ait toujours g G ; l’écart relatif sur la valeur
du champ de pesanteur, dû à la rotation de la Terre vaut :
Dg
g
≈
V
2 r
G
cos
2 l
À l’équateur, cet écart est maximal :
Dg
g
≈ 0,35 %.
Sous les latitudes de la France métropolitaine :
Dg
g
≈ 0,175 %, avec l = 45
◦ .
3. Soit ´ l’angle entre les directions de
− →
G (M) et − → g (M) ; en effectuant le produit
vectoriel par − → g de chaque côté de l’égalité
− →
G = − → g 1 − → a , et en prenant la norme,
on a :
− → g ∧
− →
G
= − → g ∧ − → a , ce qui conduit à : gG |sin ´| = ga
sin(
− → g , − → a )
, où
(
− → g , − → a ) désigne l’angle entre − → g et − → a . Si on se limite à l’hémisphère nord, convenant que
0 l
p
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et ´ 0, on peut écrire : gG sin ´ = ga |sin(p − (l 1 ´))| = ga sin(l 1 ´)
L’angle ´ étant petit, on peut ne garder que les termes du premier ordre en ´ dans cette égalité, de sorte que G sin ´ = a (sin l cos ´ 1 cos l sin ´) ⇒ G ´ ≈ V
2 r cos l (sin l 1 ´ cos l)
L’expression de l’angle entre les directions de
− →
G (M) et − → g (M) est alors :
´ ≈
V
2 r cos l sin l
G − V 2 r cos 2 l
≈
V
2 r
2G
sin 2l
r étant fixé, cet angle est maximal lorsque l = 45
◦ ; à la surface de la terre, il vaut, dans
ces conditions ´ ≈ 1,74.10
−3 rad ≈ 0,1
◦ .
8 1. L’expression de la force d’inertie de Coriolis est
− →
f ic (M) = −2m
− →
V ∧
d
− − →
OM
dt
Rt
,
où
− →
V désigne le vecteur rotation de la Terre sur elle même. Il importe tout d’abord d’exprimer
− →
V dans le repère lié au référentiel tangent R t ; comme il est parallèle à la direction
de l’axe des pôles, il est contenu dans le plan Oyz, et
− →
V = V
cos l − → u y 1 sin l − → u z
2.a. Pour un wagon se déplaçant dans l’hémisphère Nord, du Nord au Sud le long d’un
méridien dans le référentiel terrestre, on a localement
− →
V (M) = −V − → u y , (où V > 0), soit :
− →
f ic (M) = −2mVV sin l − → u x
Cette force a donc la direction du parallèle local et est dirigée d’Est en Ouest. Pour un
wagon de masse égale à 20 tonnes se déplaçant à 300 km/h on trouve
− →
f ic (M)
= 172 N
pour l = 45
◦ . Si une voie de chemin de fer est empruntée toujours dans le même sens,
ce sera donc le rail de droite dans l’hémisphère Nord et celui de gauche dans l’hémisphère
Sud.
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