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Pour le calcul de l’énergie seuil (relativiste), il faut définir mathématiquement le seuil
d’une réaction. Dans le référentiel du laboratoire, 2 est au repos. Soient T 1 , T 3 ... les
énergies cinétiques des particules 1, 3 ... La conservation de l’impulsion et de l’énergie
totale donne :
− →
p 1 =
− →
p 3 1
− →
p 4 1 ...
m 1 c
2 1 T 1 1 m 2 c
2 = m 3 c
2 1 T 3 1 m 4 c
2 1 T 4 1 ...
d’où
Q 1 T 1 = T 3 1 T 4 1 ...
En considérant cette dernière égalité pour en tirer une condition qui fixe le seuil, la
première idée qui vient à l’esprit est que T 1 doit compenser exactement Q qui est négative.
La condition serait donc T 1 = −Q. Par conséquent T 3 1 T 4 1 ... = 0 or T 3 , T 4 ... sont
des quantités positives donc dans ce cas chacune est nulle. Qui dit énergie cinétique nulle,
dit vitesse nulle. Ce qui implique que
− →
p 3 ,
− →
p 4 ... sont individuellement nulles, ainsi que
leur somme et
− →
p 1 . On aboutit donc à une absurdité : le projectile ne part jamais, donc la
réaction n’a jamais lieu.
Afin de trouver une condition plus forte, passons dans le référentiel du centre de masse.
Dans ce cas, la particule 2 n’est plus au repos, projectile et cible se dirigent l’un vers l’autre
avec des quantités de mouvement égales et opposées. La conservation de l’impulsion et
de l’énergie totale donne :
− →
p
cm
1 1
− →
p
cm
2 =
− →
p
cm
3 1
− →
p
cm
4 ...
Q 1 T
cm
1 1 T
cm
2 = T
cm
3 1 T
cm
4 1 ...
L’énergie seuil doit être telle que les particules 3, 4, ... soient produites au repos dans
le référentiel du centre du masse. Donc vu dans ce référentiel, le seuil de la réaction est
défini par :
Q 1 T
cm
1 1 T
cm
2 = 0
Calculons l’énergie seuil T 1S dans le référentiel du laboratoire. Pour cela nous allons
exprimer l’invariant relativiste M
2 c
4 = E
2
−
− →
P
2 c
2 dans le référentiel du laboratoire pour
l’état initial et dans le référentiel du centre de masse pour l’état final. M est la somme des
masses, E celle des énergies totales et
− →
P celle des impulsions :
– dans le référentiel du laboratoire E i = m 1 c
2 1 T 1S 1 m 2 c
2 et
− →
P i =
− →
p 1S
– dans le référentiel du centre de masse E f = m 3 c
2 1 m 4 c
2 1 ... et
− →
P f =
− →
0
Soit
(m 3 c
2 1 m 4 c
2 1 ...)
2 = (m 1 c
2 1 T 1S 1 m 2 c
2 )
2
− (
− →
p 1S )
2
= (m 1 c
2 1 T 1S )
2 1 (m 2 c
2 )
2 1 2(m 1 c
2 1 T 1S )m 2 c
2
− [(m 1 c
2 1 T 1S )
2
− (m 1 c
2 )
2 ]
(m 3 c
2 1 m 4 c
2 1 ...)
2
− (m 1 c
2 )
2
− (m 2 c
2 )
2 = 2(m 1 c
2 1 T 1S )m 2 c
2
(m 3 c
2 1 m 4 c
2 1 ...)
2
− [(m 1 c
2 )
2 1 (m 2 c
2 )
2 1 2m 1 c
2 m 2 c
2 ] = 2T 1S m 2 c
2
9. PHYSIQUE MODERNE
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Pour le calcul de l’énergie seuil (relativiste), il faut définir mathématiquement le seuil
d’une réaction. Dans le référentiel du laboratoire, 2 est au repos. Soient T 1 , T 3 ... les
énergies cinétiques des particules 1, 3 ... La conservation de l’impulsion et de l’énergie
totale donne :
− →
p 1 =
− →
p 3 1
− →
p 4 1 ...
m 1 c
2 1 T 1 1 m 2 c
2 = m 3 c
2 1 T 3 1 m 4 c
2 1 T 4 1 ...
d’où
Q 1 T 1 = T 3 1 T 4 1 ...
En considérant cette dernière égalité pour en tirer une condition qui fixe le seuil, la
première idée qui vient à l’esprit est que T 1 doit compenser exactement Q qui est négative.
La condition serait donc T 1 = −Q. Par conséquent T 3 1 T 4 1 ... = 0 or T 3 , T 4 ... sont
des quantités positives donc dans ce cas chacune est nulle. Qui dit énergie cinétique nulle,
dit vitesse nulle. Ce qui implique que
− →
p 3 ,
− →
p 4 ... sont individuellement nulles, ainsi que
leur somme et
− →
p 1 . On aboutit donc à une absurdité : le projectile ne part jamais, donc la
réaction n’a jamais lieu.
Afin de trouver une condition plus forte, passons dans le référentiel du centre de masse.
Dans ce cas, la particule 2 n’est plus au repos, projectile et cible se dirigent l’un vers l’autre
avec des quantités de mouvement égales et opposées. La conservation de l’impulsion et
de l’énergie totale donne :
− →
p
cm
1 1
− →
p
cm
2 =
− →
p
cm
3 1
− →
p
cm
4 ...
Q 1 T
cm
1 1 T
cm
2 = T
cm
3 1 T
cm
4 1 ...
L’énergie seuil doit être telle que les particules 3, 4, ... soient produites au repos dans
le référentiel du centre du masse. Donc vu dans ce référentiel, le seuil de la réaction est
défini par :
Q 1 T
cm
1 1 T
cm
2 = 0
Calculons l’énergie seuil T 1S dans le référentiel du laboratoire. Pour cela nous allons
exprimer l’invariant relativiste M
2 c
4 = E
2
−
− →
P
2 c
2 dans le référentiel du laboratoire pour
l’état initial et dans le référentiel du centre de masse pour l’état final. M est la somme des
masses, E celle des énergies totales et
− →
P celle des impulsions :
– dans le référentiel du laboratoire E i = m 1 c
2 1 T 1S 1 m 2 c
2 et
− →
P i =
− →
p 1S
– dans le référentiel du centre de masse E f = m 3 c
2 1 m 4 c
2 1 ... et
− →
P f =
− →
0
Soit
(m 3 c
2 1 m 4 c
2 1 ...)
2 = (m 1 c
2 1 T 1S 1 m 2 c
2 )
2
− (
− →
p 1S )
2
= (m 1 c
2 1 T 1S )
2 1 (m 2 c
2 )
2 1 2(m 1 c
2 1 T 1S )m 2 c
2
− [(m 1 c
2 1 T 1S )
2
− (m 1 c
2 )
2 ]
(m 3 c
2 1 m 4 c
2 1 ...)
2
− (m 1 c
2 )
2
− (m 2 c
2 )
2 = 2(m 1 c
2 1 T 1S )m 2 c
2
(m 3 c
2 1 m 4 c
2 1 ...)
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− [(m 1 c
2 )
2 1 (m 2 c
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2 1 2m 1 c
2 m 2 c
2 ] = 2T 1S m 2 c
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