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14.6. Équilibre thermodynamique, rayonnement du corps noir,
relations entre coefficients d’Einstein
On considère un ensemble de N atomes à deux niveaux, f et e, en interaction avec un
rayonnement à la pulsation v de résonance. Les trois processus d’absorption, d’émission
spontanée et d’émission induite peuvent simultanément se produire ; par conséquent la
variation dN e (t) du nombre d’atomes dans l’état excité entre les instants t et t 1 dt est
la somme des trois contributions de chacun de ces processus (cf. équations 121, 124 et
128) :
dN e (t) = B fe r v (v ef )N f (t) − A ef N e (t) − B ef r v (v ef )N e (t)
absorption
émission
émission
spontanée
induite
(129)
On suppose maintenant que cet ensemble de N atomes est en équilibre avec le rayonnement thermique émis par une enceinte à la température T , dont la densité spectrale
sera notée r T (v). Ce rayonnement est connu sous le nom de rayonnement du corps noir.
Puisque le système est à l’équilibre, les nombres d’atomes dans chacun des états e et f ne
varient pas au cours du temps, d’où dN e (t) = 0. Ainsi :
B fe r T (v ef )N f − A ef N e − B ef r T (v ef )N e = 0
(130)
Le fait d’être à l’équilibre n’implique pas qu’il n’y a pas d’absorption, d’émission spontanée
et d’émission induite, mais que les transferts provoqués par ces processus se compensent.
A l’équilibre thermodynamique, les atomes sont aussi à la température T . Par conséquent,
selon la loi de Boltzmann, la probabilité de trouver un atome dans un état d’énergie E est
proportionnelle à e
− E
k B T , où k B est la constante de Boltzmann. De ce fait, le rapport des
nombres d’atomes occupant les états e et f (on appelle aussi ces quantités les populations
des états e et f ) vérifie :
N e
N f
= e
−
Ee−E f
k B T = e
−
v ef
k B T
(131)
On peut alors déduire de l’équation (130) la densité spectrale r T (v ef ) du rayonnement
du corps noir à la pulsation de transition :
r T (v ef ) =
A ef /B ef
B fe
B ef
e
v ef
k B T − 1
(132)
Or la densité spectrale du rayonnement du corps noir est connue par ailleurs. On sait :
r T (v) =
v
3
p 2 c 3
1
e
v
k B T − 1
(133)
Par identification (les expressions 132 et 133 doivent être identiques, quelle que soit T ),
on obtient deux relations entre les 3 coefficients d’Einstein :
A ef =
v
3
ef
p 2 c 3 B ef
et
B fe = B ef
(134)
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
591
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14.6. Équilibre thermodynamique, rayonnement du corps noir,
relations entre coefficients d’Einstein
On considère un ensemble de N atomes à deux niveaux, f et e, en interaction avec un
rayonnement à la pulsation v de résonance. Les trois processus d’absorption, d’émission
spontanée et d’émission induite peuvent simultanément se produire ; par conséquent la
variation dN e (t) du nombre d’atomes dans l’état excité entre les instants t et t 1 dt est
la somme des trois contributions de chacun de ces processus (cf. équations 121, 124 et
128) :
dN e (t) = B fe r v (v ef )N f (t) − A ef N e (t) − B ef r v (v ef )N e (t)
absorption
émission
émission
spontanée
induite
(129)
On suppose maintenant que cet ensemble de N atomes est en équilibre avec le rayonnement thermique émis par une enceinte à la température T , dont la densité spectrale
sera notée r T (v). Ce rayonnement est connu sous le nom de rayonnement du corps noir.
Puisque le système est à l’équilibre, les nombres d’atomes dans chacun des états e et f ne
varient pas au cours du temps, d’où dN e (t) = 0. Ainsi :
B fe r T (v ef )N f − A ef N e − B ef r T (v ef )N e = 0
(130)
Le fait d’être à l’équilibre n’implique pas qu’il n’y a pas d’absorption, d’émission spontanée
et d’émission induite, mais que les transferts provoqués par ces processus se compensent.
A l’équilibre thermodynamique, les atomes sont aussi à la température T . Par conséquent,
selon la loi de Boltzmann, la probabilité de trouver un atome dans un état d’énergie E est
proportionnelle à e
− E
k B T , où k B est la constante de Boltzmann. De ce fait, le rapport des
nombres d’atomes occupant les états e et f (on appelle aussi ces quantités les populations
des états e et f ) vérifie :
N e
N f
= e
−
Ee−E f
k B T = e
−
v ef
k B T
(131)
On peut alors déduire de l’équation (130) la densité spectrale r T (v ef ) du rayonnement
du corps noir à la pulsation de transition :
r T (v ef ) =
A ef /B ef
B fe
B ef
e
v ef
k B T − 1
(132)
Or la densité spectrale du rayonnement du corps noir est connue par ailleurs. On sait :
r T (v) =
v
3
p 2 c 3
1
e
v
k B T − 1
(133)
Par identification (les expressions 132 et 133 doivent être identiques, quelle que soit T ),
on obtient deux relations entre les 3 coefficients d’Einstein :
A ef =
v
3
ef
p 2 c 3 B ef
et
B fe = B ef
(134)
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
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