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4.1. Équation d’ondes
Les ingrédients pour établir l’équation d’onde sont, de manière directe ou déguisée, au
nombre de trois :
– la relation fondamentale de la dynamique appliquée à une petite tranche de fluide (les
forces agissant sur cette tranche résultant de la surpression p liée au passage de l’onde) ;
– l’équation de continuité (conservation de la matière) ;
– l’équation d’état qui spécifie la nature des échanges thermiques ayant lieu dans le
fluide. Il est raisonnable de considérer que l’évolution de chaque tranche de fluide se
fait à entropie constante. En effet, la transmission d’une surpression est un phénomène
propagatif (rapide) tandis que les échanges thermiques sont des processus diffusifs (lents).
De plus, on fait l’approximation acoustique :
– la surpression p, la vitesse acoustique u ainsi que leurs dérivées sont des quantités petites
(ne pas confondre u avec la célérité c de l’onde) ;
– les variations relatives de la masse volumique r du fluide sont petites.
Dans ces conditions, on aboutit pour la surpression p à l’équation d’ondes suivante :
≠
2 p
≠t 2 = c
2 ≠
2 p
≠x 2
(35)
où
c =
1
√ r 0 x S
(36)
et
x S = −
1
V
≠V
≠P
S
(37)
x S est le coefficient de compressibilité adiabatique, r 0 la masse volumique du fluide au
repos et S l’entropie. Remarquons que l’on obtiendrait la même équation d’ondes pour la
vitesse acoustique u et le déplacement acoustique c. (36) permet d’obtenir l’expression de
la vitesse du son dans un gaz parfait :
c =
g R T 0
M
(38)
(g est le rapport des chaleurs massiques C P /C V , R est la constante molaire des gaz
parfaits, T 0 la température du gaz au repos et M la masse molaire).
Enfin, la solution générale des équations de propagation pour u et p s’écrit :
u = f (t − x/c) 1 g(t 1 x/c)
p = r 0 c
f (t − x/c) − g(t 1 x/c)
Pour une onde progressive, seul l’un des deux termes, f ou g, intervient. Le rapport de p
au débit volumique S 0 u est alors constant et a pour expression
p
S 0 u
= ±
r 0 c
S 0
, le signe ±
étant lié au sens de propagation de l’onde.
398
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4.1. Équation d’ondes
Les ingrédients pour établir l’équation d’onde sont, de manière directe ou déguisée, au
nombre de trois :
– la relation fondamentale de la dynamique appliquée à une petite tranche de fluide (les
forces agissant sur cette tranche résultant de la surpression p liée au passage de l’onde) ;
– l’équation de continuité (conservation de la matière) ;
– l’équation d’état qui spécifie la nature des échanges thermiques ayant lieu dans le
fluide. Il est raisonnable de considérer que l’évolution de chaque tranche de fluide se
fait à entropie constante. En effet, la transmission d’une surpression est un phénomène
propagatif (rapide) tandis que les échanges thermiques sont des processus diffusifs (lents).
De plus, on fait l’approximation acoustique :
– la surpression p, la vitesse acoustique u ainsi que leurs dérivées sont des quantités petites
(ne pas confondre u avec la célérité c de l’onde) ;
– les variations relatives de la masse volumique r du fluide sont petites.
Dans ces conditions, on aboutit pour la surpression p à l’équation d’ondes suivante :
≠
2 p
≠t 2 = c
2 ≠
2 p
≠x 2
(35)
où
c =
1
√ r 0 x S
(36)
et
x S = −
1
V
≠V
≠P
S
(37)
x S est le coefficient de compressibilité adiabatique, r 0 la masse volumique du fluide au
repos et S l’entropie. Remarquons que l’on obtiendrait la même équation d’ondes pour la
vitesse acoustique u et le déplacement acoustique c. (36) permet d’obtenir l’expression de
la vitesse du son dans un gaz parfait :
c =
g R T 0
M
(38)
(g est le rapport des chaleurs massiques C P /C V , R est la constante molaire des gaz
parfaits, T 0 la température du gaz au repos et M la masse molaire).
Enfin, la solution générale des équations de propagation pour u et p s’écrit :
u = f (t − x/c) 1 g(t 1 x/c)
p = r 0 c
f (t − x/c) − g(t 1 x/c)
Pour une onde progressive, seul l’un des deux termes, f ou g, intervient. Le rapport de p
au débit volumique S 0 u est alors constant et a pour expression
p
S 0 u
= ±
r 0 c
S 0
, le signe ±
étant lié au sens de propagation de l’onde.
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