i
i
i
i
i
i
i
i
Sommaire
1. MÉCANIQUE (Pascal Monceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Grandeurs cinétiques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Principe de l’inertie ; référentiels galiléens (1
re loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Principe fondamental de la dynamique. Référentiels galiléens (2
e loi de Newton) . . . . 16
Principe des actions réciproques (3
e loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens . . . . . . . . . . 17
Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Oscillateur harmonique à une dimension. Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable . . . . . . . . . . 20
Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide . . . . . . . . . . . . . 21
Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Oscillations forcées : l’oscillateur harmonique entretenu ; résonance . . . . . . . . . . . 23
Recherche du régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Comportement de la réponse en amplitude en fonction de la fréquence . . . . . . . . . . . . 24
Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Mécanique des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Centre d’inertie ; référentiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Énergie cinétique. Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Théorèmes de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Réduction canonique du problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Mécanique du solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Éléments de cinématique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Moment cinétique, énergie cinétique, opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Solide en rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Moments d’inertie à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Théorème de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Roulement sans glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Notion de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Loi fondamentale de l’hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
i
i
i
i
i
i
i
Sommaire
1. MÉCANIQUE (Pascal Monceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Grandeurs cinétiques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Principe de l’inertie ; référentiels galiléens (1
re loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Principe fondamental de la dynamique. Référentiels galiléens (2
e loi de Newton) . . . . 16
Principe des actions réciproques (3
e loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens . . . . . . . . . . 17
Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Oscillateur harmonique à une dimension. Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable . . . . . . . . . . 20
Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide . . . . . . . . . . . . . 21
Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Oscillations forcées : l’oscillateur harmonique entretenu ; résonance . . . . . . . . . . . 23
Recherche du régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Comportement de la réponse en amplitude en fonction de la fréquence . . . . . . . . . . . . 24
Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Mécanique des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Centre d’inertie ; référentiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Énergie cinétique. Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Théorèmes de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Réduction canonique du problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Mécanique du solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Éléments de cinématique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Moment cinétique, énergie cinétique, opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Solide en rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Moments d’inertie à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Théorème de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Roulement sans glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Notion de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Loi fondamentale de l’hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3