i
i
i
i
i
i
i
i
Équations locales de l’électrostatique
Exercice 6
Détermination d’une répartition de charges
Une sphère S, de centre O et de rayon a, porte une densité volumique de charges r
ainsi qu’une densité surfacique s. La répartition des charges est telle que le champ
électrostatique
− →
E en tout point M intérieur à la sphère est de la forme :
− →
E int = a
− − →
OM 1 E 0
− → u z
où a et E o sont des constantes et − → u z un vecteur unitaire porté par l’axe z
z.
La symétrie suggère que r et s sont des fonctions de r et de u seulement (en coordonnées
sphériques).
1. Exprimer les composantes de
− →
E int (M) en coordonnées cartésiennes.
2. En déduire l’expression du potentiel électrostatique V int (M) en fonction de x, y et z à
une constante additive près que l’on notera C. Montrer qu’en coordonnées sphériques, ce
potentiel s’écrit :
V int (M) = −(1/2)ar
2
− E o r cos u 1 C
3.a. À partir de la forme locale du théorème de Gauss, déterminer la densité volumique
de charge r(M) dans S. Comment varie-t-elle ?
b. Retrouver ce résultat en utilisant l’équation de Poisson.
4. Calculer la composante radiale
− − →
E int,r (M) du champ dans S en fonction de r et u. Quelle
est sa limite lorsque r tend vers a par valeurs inférieures, à u constant ?
5. À l’extérieur de S, le potentiel est de la forme :
V ext (M) = (aa
3 /r) 1 (l cos u/r
2 )
où l est une constante inconnue. Calculer C et l.
6. Calculer la composante radiale
− − →
E ext,r (M) du champ à l’extérieur de S, en fonction de r
et u. Quelle est sa limite lorsque r tend vers a par valeurs supérieures, à u constant ?
7. Déduire des résultats précédents la densité surfacique de charges s portée par S.
Comment varie-t-elle ?
8. Montrer que, lorsqu’on calcule la charge totale portée par S, la répartition surfacique
donne une contribution nulle. Calculer la charge totale Q de S.
9.a. En généralisant la définition du moment dipolaire en O de plusieurs charges ponctuelles, définir le moment dipolaire
− →
p vol en O, dû à la charge volumique, ainsi que le
moment dipolaire
−→
p surf en O, dû à la charge surfacique.
b. Montrer que
− →
p vol =
− →
0 et que
−→
p surf est parallèle à − → u z .
c. Calculer le moment dipolaire total
− →
p de la sphère en O.
10. Réécrire V ext (M) en fonction de Q et p. Discuter l’expression obtenue.
164
i
i
i
i
i
i
i
Équations locales de l’électrostatique
Exercice 6
Détermination d’une répartition de charges
Une sphère S, de centre O et de rayon a, porte une densité volumique de charges r
ainsi qu’une densité surfacique s. La répartition des charges est telle que le champ
électrostatique
− →
E en tout point M intérieur à la sphère est de la forme :
− →
E int = a
− − →
OM 1 E 0
− → u z
où a et E o sont des constantes et − → u z un vecteur unitaire porté par l’axe z
z.
La symétrie suggère que r et s sont des fonctions de r et de u seulement (en coordonnées
sphériques).
1. Exprimer les composantes de
− →
E int (M) en coordonnées cartésiennes.
2. En déduire l’expression du potentiel électrostatique V int (M) en fonction de x, y et z à
une constante additive près que l’on notera C. Montrer qu’en coordonnées sphériques, ce
potentiel s’écrit :
V int (M) = −(1/2)ar
2
− E o r cos u 1 C
3.a. À partir de la forme locale du théorème de Gauss, déterminer la densité volumique
de charge r(M) dans S. Comment varie-t-elle ?
b. Retrouver ce résultat en utilisant l’équation de Poisson.
4. Calculer la composante radiale
− − →
E int,r (M) du champ dans S en fonction de r et u. Quelle
est sa limite lorsque r tend vers a par valeurs inférieures, à u constant ?
5. À l’extérieur de S, le potentiel est de la forme :
V ext (M) = (aa
3 /r) 1 (l cos u/r
2 )
où l est une constante inconnue. Calculer C et l.
6. Calculer la composante radiale
− − →
E ext,r (M) du champ à l’extérieur de S, en fonction de r
et u. Quelle est sa limite lorsque r tend vers a par valeurs supérieures, à u constant ?
7. Déduire des résultats précédents la densité surfacique de charges s portée par S.
Comment varie-t-elle ?
8. Montrer que, lorsqu’on calcule la charge totale portée par S, la répartition surfacique
donne une contribution nulle. Calculer la charge totale Q de S.
9.a. En généralisant la définition du moment dipolaire en O de plusieurs charges ponctuelles, définir le moment dipolaire
− →
p vol en O, dû à la charge volumique, ainsi que le
moment dipolaire
−→
p surf en O, dû à la charge surfacique.
b. Montrer que
− →
p vol =
− →
0 et que
−→
p surf est parallèle à − → u z .
c. Calculer le moment dipolaire total
− →
p de la sphère en O.
10. Réécrire V ext (M) en fonction de Q et p. Discuter l’expression obtenue.
164