solutions des exercices
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Comme cela impose
≠P
≠u
= 0, la surface sera de révolution autour de Oz. Elle est donnée
par les système d’équations aux dérivées partielles :

 
 
≠P
≠r
= rv
2 r
≠P
≠z
= −rg
qui s’intègre en :



P(r, z) =
1
2
rv
2 r
2 1 F(z)
P(r, z) = −rgz 1 G(r)
Ces deux relations sont compatibles, puisque les variables r et z sont séparées, et
conduisent à :
P(r, z) =
1
2
rv
2 r
2
− rgz 1 C
La surface libre a donc pour équation :
1
2
rv
2 r
2
− rgz 1 C = P 0
La méridienne de la surface libre (u fixé) est une parabole ; la surface libre est un paraboloïde de révolution d’axe z. La constante C se calcule en exprimant la conservation du
volume du fluide. En l’absence de rotation, ce volume est celui d’un cylindre de rayon R,
et de hauteur h :
V 0 = pR
2 h
En coordonnées cylindriques :
V =
rdrdudz =
u=2p
u=0
du
r=R
r=0
rdr
z(r)
z=0
dz
avec z(r) = Ar
2 1 B, où B est à chercher. D’où :
V = 2p
r=R
r=0
z(r)rdr = 2p
r=R
r=0
(Ar
2 1 B)rdr
qui s’intègre aisément en :
V = 2p
1
4
AR
4 1
1
2
BR
2
De l’égalité V = V 0 = pR
2 h, on tire : h =
1
2
AR
2 1 B ⇒ B = h −
1
2
AR
2
L’équation de la méridienne est donc :
z =
v
2
2g
r
2
−
R
2
2
1 h
Cette équation ne dépend pas de la masse volumique du liquide.
1. MÉCANIQUE
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