Contents
1 Unit Cell Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Translation Vectors in Plane and Space Lattices . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Choice of Axes and Unit Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3 Crystal Systems in 2-D and 3-D Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Centering in 2-D and 3-D Crystal Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Close Packing of Identical Atoms (Spheres) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Unit Cell Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1 Construction of Wigner–Seitz Unit Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Construction of Reciprocal Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Construction of Brillouin Zones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 Fermi Surface and Brillouin Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Unit Cell Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1 Fractional Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Distance Between Two Lattice Points (Oblique System) . . . . . . . . 103
3.3 Unit Cell Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 Angle Between Two Crystallographic Directions . . . . . . . . . . . . . 110
3.5 Atomic Density in Crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6 Packing Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6.1 In 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6.2 In 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 Unit Cell Representations of Miller Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1 Miller Indices of Atomic Sites, Planes and Directions . . . . . . . . . . 137
4.2 Representation of Planes and Directions of Known Miller
Indices in Cubic Unit Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3 Miller–Bravais Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4 Interplanar Spacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Zone and Zone Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
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1 Unit Cell Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Translation Vectors in Plane and Space Lattices . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Choice of Axes and Unit Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 Crystal Systems in 2-D and 3-D Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Centering in 2-D and 3-D Crystal Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Close Packing of Identical Atoms (Spheres) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Unit Cell Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1 Construction of Wigner–Seitz Unit Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Construction of Reciprocal Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Construction of Brillouin Zones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 Fermi Surface and Brillouin Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Unit Cell Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1 Fractional Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Distance Between Two Lattice Points (Oblique System) . . . . . . . . 103
3.3 Unit Cell Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 Angle Between Two Crystallographic Directions . . . . . . . . . . . . . 110
3.5 Atomic Density in Crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6 Packing Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6.1 In 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6.2 In 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 Unit Cell Representations of Miller Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1 Miller Indices of Atomic Sites, Planes and Directions . . . . . . . . . . 137
4.2 Representation of Planes and Directions of Known Miller
Indices in Cubic Unit Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3 Miller–Bravais Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4 Interplanar Spacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Zone and Zone Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
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