Contents
xiii
4.3 Bore Profiles of Brass Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.1
Different Parts of the Bore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.2
Cylindrical Tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.3
Conical Tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.4
Equivalent Fundamental Pitch and Equivalent Cone Length 136
4.3.5
The Mouthpiece as a Helmholtz Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.6
Mouthpiece Effects on Intonation and Timbre . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3.7
Sound Waves in Flaring Bells. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.8
A Theoretical Example: The Bessel Horn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.9
A Practical Example: The Complete Trombone . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.10 Instruments with Predominantly Expanding Bore Profiles . . 157
4.4 Toneholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5 Mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.5.1
Straight Mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5.2
Effects of Internal Resonances in the Straight Mute . . . . . . . . . 167
4.5.3
Harmon Mute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.5.4
Plunger and Cup Mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5.5
Transposing Mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.5.6
Hand Technique on the Horn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.6 Radiation of Sound from Brass Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.6.1
Near Field and Far Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.6.2
Monopole Radiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.6.3
Transition from Internal to External Sound Fields. . . . . . . . . . . 183
4.6.4
Mapping the Radiation Fields of Brass Instruments . . . . . . . . . 185
4.6.5
Visualising Wavefronts with Schlieren Optics . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.6.6
Far Field Directivity in Brass Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.7 Going Further: Calculating Input Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.7.1
Analytical Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.7.2
Lossless Plane Wave TMM Calculations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.7.3
Including Losses in TMM Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.4
TMM with Non-Cylindrical Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.7.5
Radiation Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.7.6
Multimodal Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.7.7
Bends in Brass Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.8 Going Further: The Wogram Sum Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5 Blow That Horn: An Elementary Model of Brass Playing . . . . . . . . . . . . . 217
5.1 The Three Equations of the Brass Instrument Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.1.1
The First Constituent Equation: Lip Dynamics . . . . . . . . . . . . . . 220
5.1.2
The Second Constituent Equation: Flow Conditions . . . . . . . . 221
5.1.3
The Third Constituent Equation: Instrument Acoustics . . . . . 222
5.2 Crossing the Threshold: Small Amplitude Oscillating Solutions . . . . . 222
5.2.1
Phase Relationships in the Lip Valve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2.2
Silence or Sound? Stability Analysis of Brass Instruments . 228
5.3 Beyond Pianissimo: Modelling Realistic Playing Amplitudes. . . . . . . . 232
xiii
4.3 Bore Profiles of Brass Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.1
Different Parts of the Bore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.2
Cylindrical Tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.3
Conical Tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.4
Equivalent Fundamental Pitch and Equivalent Cone Length 136
4.3.5
The Mouthpiece as a Helmholtz Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.6
Mouthpiece Effects on Intonation and Timbre . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3.7
Sound Waves in Flaring Bells. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.8
A Theoretical Example: The Bessel Horn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.9
A Practical Example: The Complete Trombone . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.10 Instruments with Predominantly Expanding Bore Profiles . . 157
4.4 Toneholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5 Mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.5.1
Straight Mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5.2
Effects of Internal Resonances in the Straight Mute . . . . . . . . . 167
4.5.3
Harmon Mute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.5.4
Plunger and Cup Mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5.5
Transposing Mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.5.6
Hand Technique on the Horn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.6 Radiation of Sound from Brass Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.6.1
Near Field and Far Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.6.2
Monopole Radiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.6.3
Transition from Internal to External Sound Fields. . . . . . . . . . . 183
4.6.4
Mapping the Radiation Fields of Brass Instruments . . . . . . . . . 185
4.6.5
Visualising Wavefronts with Schlieren Optics . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.6.6
Far Field Directivity in Brass Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.7 Going Further: Calculating Input Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.7.1
Analytical Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.7.2
Lossless Plane Wave TMM Calculations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.7.3
Including Losses in TMM Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.4
TMM with Non-Cylindrical Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.7.5
Radiation Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.7.6
Multimodal Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.7.7
Bends in Brass Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.8 Going Further: The Wogram Sum Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5 Blow That Horn: An Elementary Model of Brass Playing . . . . . . . . . . . . . 217
5.1 The Three Equations of the Brass Instrument Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.1.1
The First Constituent Equation: Lip Dynamics . . . . . . . . . . . . . . 220
5.1.2
The Second Constituent Equation: Flow Conditions . . . . . . . . 221
5.1.3
The Third Constituent Equation: Instrument Acoustics . . . . . 222
5.2 Crossing the Threshold: Small Amplitude Oscillating Solutions . . . . . 222
5.2.1
Phase Relationships in the Lip Valve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2.2
Silence or Sound? Stability Analysis of Brass Instruments . 228
5.3 Beyond Pianissimo: Modelling Realistic Playing Amplitudes. . . . . . . . 232