Lois de Newton et référentiels galiléens
75
L’application de la relation fondamentale de la dynamique conduit à :
m
d − → v G/R
d t
=
− →
P +
− →
F =
− →
P − k − → v G/R
L’équation différentielle du mouvement de la masse m s’écrit donc :
d − → v
d t
+
k
m
− → v = − → g
ce qui, en projection sur l’axe x du mouvement, conduit à :
d v x
d t
+
k
m
v x = g
Cette équation est une équation différentielle du premier degré à coefficients et second
membre constants. La méthode de résolution consiste à calculer une solution de l’équation sans second membre et y ajouter une solution particulière indépendante du temps.
L’équation sans second membre s’écrit :
d vx
d t
+
k
m
v x = 0 ⇒
d vx
vx
= −
k
m
d t
ln v x = −
k
m
t + cste = −
k
m
t + ln C
Il en résulte que la vitesse du mobile varie exponentiellement selon une loi du type :
v x = Ce
−
k
m
t
On recherche une solution particulière de l’équation différentielle ne dépendant pas du
temps. On a donc :
d v x
d t
= 0 ⇒ v x =
mg
k
La solution générale de cette équation s’écrit donc :
v x =
mg
k
+ Ce
−
k
m
t
Il ne reste plus qu’à déterminer la constante C en revenant aux conditions aux limites de
ce mouvement qui impose que v = 0 à t = 0. Il vient donc :
C +
mg
k
= 0 ⇒ C = −
mg
k
ce qui conduit à :
v x =
mg
k
(1 − e
−
k
m
t )
On peut ainsi constater que la vitesse augmente progressivement pour atteindre une vitesse limite lorsque le temps tend vers l’infini (figure 3.19). La vitesse limite de chute, qui
logiquement n’est jamais atteinte, est donnée par :
v lim =
mg
k
x =
mg
k
(t +
mg
k
(e
−
k
m
t
− 1))
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L’application de la relation fondamentale de la dynamique conduit à :
m
d − → v G/R
d t
=
− →
P +
− →
F =
− →
P − k − → v G/R
L’équation différentielle du mouvement de la masse m s’écrit donc :
d − → v
d t
+
k
m
− → v = − → g
ce qui, en projection sur l’axe x du mouvement, conduit à :
d v x
d t
+
k
m
v x = g
Cette équation est une équation différentielle du premier degré à coefficients et second
membre constants. La méthode de résolution consiste à calculer une solution de l’équation sans second membre et y ajouter une solution particulière indépendante du temps.
L’équation sans second membre s’écrit :
d vx
d t
+
k
m
v x = 0 ⇒
d vx
vx
= −
k
m
d t
ln v x = −
k
m
t + cste = −
k
m
t + ln C
Il en résulte que la vitesse du mobile varie exponentiellement selon une loi du type :
v x = Ce
−
k
m
t
On recherche une solution particulière de l’équation différentielle ne dépendant pas du
temps. On a donc :
d v x
d t
= 0 ⇒ v x =
mg
k
La solution générale de cette équation s’écrit donc :
v x =
mg
k
+ Ce
−
k
m
t
Il ne reste plus qu’à déterminer la constante C en revenant aux conditions aux limites de
ce mouvement qui impose que v = 0 à t = 0. Il vient donc :
C +
mg
k
= 0 ⇒ C = −
mg
k
ce qui conduit à :
v x =
mg
k
(1 − e
−
k
m
t )
On peut ainsi constater que la vitesse augmente progressivement pour atteindre une vitesse limite lorsque le temps tend vers l’infini (figure 3.19). La vitesse limite de chute, qui
logiquement n’est jamais atteinte, est donnée par :
v lim =
mg
k
x =
mg
k
(t +
mg
k
(e
−
k
m
t
− 1))