Cinématique du point
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− →
V (t = 30) = Vo( − → ur −p − → uu ) =
1
3
(− − → u y−p
− → u x) ;
− →
V (t = 45) = Vo( − → ur −
3
2
p − → uu ) =
1
3
(− − → u x+
3
2
p − → u y).
− →
V (t = 60) = Vo( − → ur − 2p − → uu ) =
1
3
( − → u y + 2p − → u x).
Il est alors possible de tracer les différents vecteurs vitesse tous tangents à la trajectoire. L’allure
de la trajectoire est une spirale.
− → a (M) = Vo( − → ur + vt − → uu )
= Vo(v − → uu + v − → uu + vt(−v − → ur )) = Vo(−v
2 t − → ur + 2v − → uu ).
− → a (M) =
p
30
Vo(−
p
30
t − → ur − 2 − → uu ) = p
1
90
(−
p
30
t − → ur − 2 − → uu ) (en cm.s
−2 ).
− → a (t = 0) = 2Vov − → uu = −2Vov − → u x =
p
45
− → u x ;
− → a (t = 15) = Vo(−v
2 15 − → u x + 2v − → u y) = −
p
90
(
p
2
− → u x + 2 − → u y).
− → a (t = 30) = Vo(v
2 30 − → u y + 2v − → u x) = −
p
90
(−p − → u y + 2 − → u x).
− → a (t = 45) = Vo(+v
2 45 − → u x − 2v − → u y) =
p
90
(
3
2
p − → u x + 2 − → u y).
− → a (t = 60) = Vo(−v
2 60 − → u y − 2v − → u x) =
p
90
(−2p − → u y + 2 − → u x).
12 − → v = a − → uu + b − → u y et − → u y = sin u − → ur + cos u − → uu
0,4
0,8
1,2
1,6
2
30
60
240
300
330
0
Figure 1.24
⇒ − → v = b sin u − → ur +(a + b cos u) − → uu = ˙
r − → ur + r ˙
u − → uu .
d r
d t
= b sin u et r
d u
d t
= a + b cos u
⇒
r d u
d r
=
a + b cos u
b sin u
⇒
d r
r
=
b sin u
a + b cos u
d u.
On intègre chaque membre de l’égalité (avec
C = − ln ro une constante d’intégration).
On obtient :
ln r + C =
Z
b sin u
a + b cos u
d u = ln r − ln ro
= − ln(a + b cos u) = ln
r
ro
L’équation de la trajectoire est : r(u) =
ro
a+b cos u
.
Avec a = 3b et pour u = 0 on a : r(0) = 1 =
ro
3b+b
⇒ ro = 4b.
r(u) =
4
3+cos u
=
4/3
1+ 1
3
cos u
. Ceci est l’équation d’une ellipse en coordonnées polaires (allure de
la trajectoire : voir figure 1.24).
13 1) Voir figure 1.25.
30
60
0
θ
u
→
ρ
u
→
t
u
→
n
u
→
M
Figure 1.25
2) r = roe
vt ⇒ ˙
r = vr et ¨
r = v
2 r.
La vitesse angulaire est constante : ˙
u = v ⇒ ¨
u = 0.
− → v = ˙
r − → ur + r ˙
u − → uu = rv( − → ur + − → uu )
⇒ angle a=( − → v , − → ur ) = 45
◦ =angle ( − → ut , − → ur )
− → a = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → ur + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → uu
= (v
2 r − v
2 r) − → ur + 2rv
2− → uu
= 2rv
2− → uu .
L’angle entre − → a et ( − → ut ou − → un ) est donc aussi de 45
◦
(voir figure 1.25).
− → v =
√
2rv et − → a = 2rv
2 .
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− →
V (t = 30) = Vo( − → ur −p − → uu ) =
1
3
(− − → u y−p
− → u x) ;
− →
V (t = 45) = Vo( − → ur −
3
2
p − → uu ) =
1
3
(− − → u x+
3
2
p − → u y).
− →
V (t = 60) = Vo( − → ur − 2p − → uu ) =
1
3
( − → u y + 2p − → u x).
Il est alors possible de tracer les différents vecteurs vitesse tous tangents à la trajectoire. L’allure
de la trajectoire est une spirale.
− → a (M) = Vo( − → ur + vt − → uu )
= Vo(v − → uu + v − → uu + vt(−v − → ur )) = Vo(−v
2 t − → ur + 2v − → uu ).
− → a (M) =
p
30
Vo(−
p
30
t − → ur − 2 − → uu ) = p
1
90
(−
p
30
t − → ur − 2 − → uu ) (en cm.s
−2 ).
− → a (t = 0) = 2Vov − → uu = −2Vov − → u x =
p
45
− → u x ;
− → a (t = 15) = Vo(−v
2 15 − → u x + 2v − → u y) = −
p
90
(
p
2
− → u x + 2 − → u y).
− → a (t = 30) = Vo(v
2 30 − → u y + 2v − → u x) = −
p
90
(−p − → u y + 2 − → u x).
− → a (t = 45) = Vo(+v
2 45 − → u x − 2v − → u y) =
p
90
(
3
2
p − → u x + 2 − → u y).
− → a (t = 60) = Vo(−v
2 60 − → u y − 2v − → u x) =
p
90
(−2p − → u y + 2 − → u x).
12 − → v = a − → uu + b − → u y et − → u y = sin u − → ur + cos u − → uu
0,4
0,8
1,2
1,6
2
30
60
240
300
330
0
Figure 1.24
⇒ − → v = b sin u − → ur +(a + b cos u) − → uu = ˙
r − → ur + r ˙
u − → uu .
d r
d t
= b sin u et r
d u
d t
= a + b cos u
⇒
r d u
d r
=
a + b cos u
b sin u
⇒
d r
r
=
b sin u
a + b cos u
d u.
On intègre chaque membre de l’égalité (avec
C = − ln ro une constante d’intégration).
On obtient :
ln r + C =
Z
b sin u
a + b cos u
d u = ln r − ln ro
= − ln(a + b cos u) = ln
r
ro
L’équation de la trajectoire est : r(u) =
ro
a+b cos u
.
Avec a = 3b et pour u = 0 on a : r(0) = 1 =
ro
3b+b
⇒ ro = 4b.
r(u) =
4
3+cos u
=
4/3
1+ 1
3
cos u
. Ceci est l’équation d’une ellipse en coordonnées polaires (allure de
la trajectoire : voir figure 1.24).
13 1) Voir figure 1.25.
30
60
0
θ
u
→
ρ
u
→
t
u
→
n
u
→
M
Figure 1.25
2) r = roe
vt ⇒ ˙
r = vr et ¨
r = v
2 r.
La vitesse angulaire est constante : ˙
u = v ⇒ ¨
u = 0.
− → v = ˙
r − → ur + r ˙
u − → uu = rv( − → ur + − → uu )
⇒ angle a=( − → v , − → ur ) = 45
◦ =angle ( − → ut , − → ur )
− → a = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → ur + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → uu
= (v
2 r − v
2 r) − → ur + 2rv
2− → uu
= 2rv
2− → uu .
L’angle entre − → a et ( − → ut ou − → un ) est donc aussi de 45
◦
(voir figure 1.25).
− → v =
√
2rv et − → a = 2rv
2 .