Annexes
307
dans laquelle E x , E y et E z sont des fonctions des coordonnées x, y, z et (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) est
une base du repère cartésien utilisé. Cette notion a été abordée en introduction (paragraphe 1.). Rappelons que des exemples classiques de champs de vecteurs sont le champ
de gravitation, le champ électrique, etc.
9.2. Circulation d’un champ de vecteurs
Considérons un champ de vecteurs
− →
E (M) et une portion de courbe (C) limitée par les
points M 1 et M 2 .
M 1
M 2
M
)
( M
E
→
l
d
→
(C)
Figure A1.25 • Circulation d’un champ entre deux points M 1 et M 2 .
On appelle circulation élémentaire de
− →
E (M) sur (C) pour un déplacement élémentaire
d
− →
l la quantité : dC(
− →
E ) =
− →
E (M).d
− →
l .
L’expression de la circulation peut s’écrire en fonction du système de coordonnées choisi.
En coordonnées cartésiennes, il est facile de vérifier que pour un problème plan la circulation élémentaire s’écrit
dC(
− →
E ) = E(x, y).dx + E(x, y).dy
La circulation élémentaire se présente donc comme une forme différentielle. La circulation de
− →
E (M) sur (C) entre M 1 et M 2 s’obtient en intégrant la circulation élémentaire sur
le chemin suivi, soit :
C M1→M2 (
− →
E ) =
M2
M1
− →
E (M).d
− →
l
Remarques
• Si le champ de vecteurs est un champ de forces
− →
F , la circulation de
− →
F sur (C) entre M 1
et M 2 est égale au travail de
− →
F lorsque son point d’application passe de M 1 à M 2 en
suivant le chemin défini par la courbe (C).
• Si le champ de vecteurs est uniforme, on a alors :
C M1→M2 (
− →
E ) =
M2
M1
− →
E (M).d
− →
l =
− →
E (M).
M2
M1
d
− →
l =
− →
E (M).
−−−→
M 1 M 2
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dans laquelle E x , E y et E z sont des fonctions des coordonnées x, y, z et (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) est
une base du repère cartésien utilisé. Cette notion a été abordée en introduction (paragraphe 1.). Rappelons que des exemples classiques de champs de vecteurs sont le champ
de gravitation, le champ électrique, etc.
9.2. Circulation d’un champ de vecteurs
Considérons un champ de vecteurs
− →
E (M) et une portion de courbe (C) limitée par les
points M 1 et M 2 .
M 1
M 2
M
)
( M
E
→
l
d
→
(C)
Figure A1.25 • Circulation d’un champ entre deux points M 1 et M 2 .
On appelle circulation élémentaire de
− →
E (M) sur (C) pour un déplacement élémentaire
d
− →
l la quantité : dC(
− →
E ) =
− →
E (M).d
− →
l .
L’expression de la circulation peut s’écrire en fonction du système de coordonnées choisi.
En coordonnées cartésiennes, il est facile de vérifier que pour un problème plan la circulation élémentaire s’écrit
dC(
− →
E ) = E(x, y).dx + E(x, y).dy
La circulation élémentaire se présente donc comme une forme différentielle. La circulation de
− →
E (M) sur (C) entre M 1 et M 2 s’obtient en intégrant la circulation élémentaire sur
le chemin suivi, soit :
C M1→M2 (
− →
E ) =
M2
M1
− →
E (M).d
− →
l
Remarques
• Si le champ de vecteurs est un champ de forces
− →
F , la circulation de
− →
F sur (C) entre M 1
et M 2 est égale au travail de
− →
F lorsque son point d’application passe de M 1 à M 2 en
suivant le chemin défini par la courbe (C).
• Si le champ de vecteurs est uniforme, on a alors :
C M1→M2 (
− →
E ) =
M2
M1
− →
E (M).d
− →
l =
− →
E (M).
M2
M1
d
− →
l =
− →
E (M).
−−−→
M 1 M 2