Annexes
303
Ce vecteur peut être défini à partir de l’opérateur nabla :
− − →
grad f =
− →
∇f
avec : ∇ =
⎛
⎜
⎝
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
.
Le gradient d’un champ de scalaires (fonction f (x, y, z)) est un vecteur qui renseigne sur
l’évolution de la fonction dans l’espace. Il est facile de s’en convaincre en travaillant avec
des fonctions à une seule variable. Le gradient est alors un vecteur dont l’intensité correspond à la dérivée de la fonction. Un exemple est donné à la fin de cette partie.
7.2. Relation entre le gradient et la différentielle
Nous avons vu que par définition :
− − →
grad f =
∂f
∂x
− →
i +
∂f
∂y
− →
j +
∂f
∂z
− →
k
df =
∂f
∂x dx +
∂f
∂y dy +
∂f
∂z dz
Si l’on multiplie scalairement le vecteur gradient par le vecteur déplacement élémentaire
d
−→
OM il vient :
d
−→
OM =dx
− →
i +dy
− →
j +dz
− →
k
− − →
grad f .d
−→
OM = (
∂f
∂x
− →
i +
∂f
∂y
− →
j +
∂f
∂z
− →
k ).(dx
− →
i +dy
− →
j +dz
− →
k )
− − →
grad f .d
−→
OM =df
Cette dernière relation est particulièrement importante car elle permet de donner une
signification du gradient d’une fonction. En effet, considérons une surface équipotentielle
définie par f = cste. Supposons que M appartienne à la surface équipotentielle. Alors
quel que soit le déplacement élémentaire de M sur cette surface équipotentielle, on aura
df = 0 soit :
− − →
grad f . d
−→
OM = 0
Dans cette expression d
−→
OM est non nul puisqu’il représente un déplacement élémentaire
quelconque dans la surface équipotentielle ainsi que
− − →
grad f . Cela montre que pour que
l’égalité soit vérifiée il faut que
− − →
grad f soit perpendiculaire à la surface équipotentielle.
Le vecteur gradient
− − →
grad f est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles
f = cste.
Si, maintenant, on considère un déplacement du point M dans la direction et le sens du
gradient (c’est-à-dire perpendiculairement à la surface équipotentielle), on aura :
df =
− − →
grad f . d
−→
OM =
− − →
grad f
d
−→
OM
> 0 =⇒ df > 0
303
Ce vecteur peut être défini à partir de l’opérateur nabla :
− − →
grad f =
− →
∇f
avec : ∇ =
⎛
⎜
⎝
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
.
Le gradient d’un champ de scalaires (fonction f (x, y, z)) est un vecteur qui renseigne sur
l’évolution de la fonction dans l’espace. Il est facile de s’en convaincre en travaillant avec
des fonctions à une seule variable. Le gradient est alors un vecteur dont l’intensité correspond à la dérivée de la fonction. Un exemple est donné à la fin de cette partie.
7.2. Relation entre le gradient et la différentielle
Nous avons vu que par définition :
− − →
grad f =
∂f
∂x
− →
i +
∂f
∂y
− →
j +
∂f
∂z
− →
k
df =
∂f
∂x dx +
∂f
∂y dy +
∂f
∂z dz
Si l’on multiplie scalairement le vecteur gradient par le vecteur déplacement élémentaire
d
−→
OM il vient :
d
−→
OM =dx
− →
i +dy
− →
j +dz
− →
k
− − →
grad f .d
−→
OM = (
∂f
∂x
− →
i +
∂f
∂y
− →
j +
∂f
∂z
− →
k ).(dx
− →
i +dy
− →
j +dz
− →
k )
− − →
grad f .d
−→
OM =df
Cette dernière relation est particulièrement importante car elle permet de donner une
signification du gradient d’une fonction. En effet, considérons une surface équipotentielle
définie par f = cste. Supposons que M appartienne à la surface équipotentielle. Alors
quel que soit le déplacement élémentaire de M sur cette surface équipotentielle, on aura
df = 0 soit :
− − →
grad f . d
−→
OM = 0
Dans cette expression d
−→
OM est non nul puisqu’il représente un déplacement élémentaire
quelconque dans la surface équipotentielle ainsi que
− − →
grad f . Cela montre que pour que
l’égalité soit vérifiée il faut que
− − →
grad f soit perpendiculaire à la surface équipotentielle.
Le vecteur gradient
− − →
grad f est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles
f = cste.
Si, maintenant, on considère un déplacement du point M dans la direction et le sens du
gradient (c’est-à-dire perpendiculairement à la surface équipotentielle), on aura :
df =
− − →
grad f . d
−→
OM =
− − →
grad f
d
−→
OM
> 0 =⇒ df > 0