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Mécanique du point
Tout déplacement élémentaire
−−→
MM
de l’extrémité du vecteur
−→
OM peut être projeté sur
les vecteurs de bases − → u r , − → u u , − → u w . Ce déplacement élémentaire engendre des variations
élémentaires (dr,du,dw) des paramètres de position (r, u, w) du point M. Ces variations
élémentaires doivent être converties en déplacements élémentaires en particulier lorsqu’il
s’agit des angles. Elles s’obtiennent facilement en utilisant la figure A1.22.
M
O
r
ϕ
θ
→
u r
→
u ϕ
→
u θ
k
→
i
→
j
→
u
→
z
y
x
z
r.sinθ
Figure A1.22 • Détermination d’un déplacement élémentaire en coordonnées sphériques.
Détermination d’un déplacement élémentaire en coordonnées sphériques :
• selon u r le passage de r à r + d r produit le déplacement d r ;
• selon u u le passage de u à u + d u produit un déplacement r d u ;
• selon u w le passage de w à w + d w produit un déplacement r sin u d w.
Le vecteur d l, dont les composantes dans la base
u r ,, u u ,, u w
sont les valeurs précédemment déterminées, s’écrit donc :
d
− →
OM = d l = d r.. u r + r. d u.. u u + r. sin u. d w.. u w
7. VECTEUR GRADIENT D’UNE FONCTION
7.1. Définition
On appelle vecteur gradient d’une fonction scalaire f (x, y, z) de plusieurs variables réelles
le vecteur noté
− − →
grad défini par :
− − →
grad f =
∂f
∂x
− →
i +
∂f
∂y
− →
j +
∂f
∂z
− →
k