Trajectoires d’un système à deux corps
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d) On en déduit :
− →
A .
−→
OM =
L
2
o
m
− kr = Ar cos u ⇒
L
2
o
m
= (k + A cos u)r
r =
L
2
o
m
k + A cos u
=
L
2
o
m
k(1 +
A
k
cos u)
=
L
2
o
km
1 +
A
k
cos u
=
p
1 + e cos u
La trajectoire de M est une conique de paramètre p et d’excentricité e.
Le paramètre p est : p =
L
2
o
km
et l’excentricité e est : e =
A
k
4) Relation entre énergie et excentricité
a) L’énergie totale est : E = E c + E p =
1
2
mv
2
−
k
r
.
b) A
2 =
− →
A .
− →
A =
( − → v ∧
− →
L o ) − k − → u
− → v ∧
− →
L o
− k − → u
=
− → v ∧
− →
L o
2 − 2k − → u
− → v ∧
− →
L o
+ k
2
Les vecteurs − → v et
− →
L o sont orthogonaux et donc la norme du produit vectoriel
est égal au produit des normes des vecteurs : ( − → v ∧
− →
L o )
2 = (vL o )
2 = v
2 L
2
o
2k − → u ( − → v ∧
− →
L o ) = 2k − → u
˙ r − → u + r ˙
u − → u u
∧ L o
− → u z
= 2k − → u
L o ˙ r( − → u ∧ − → u z ) + r ˙
uL o ( − → u u ∧ − → u z )
2k − → u ( − → v ∧
− →
L o ) = 2k − → u
L o ˙ r(− − → u u ) + r ˙
uL o ( − → u )
= 2kr ˙
uL o = 2k
m
m
r
2
r
˙
uL o
=
2k
mr
mr
2 ˙
uL o =
2k
mr
L
2
o
A
2 = v
2 L
2
o −
2k
mr
L
2
o + k
2 = k
2
1 +
v
2 L
2
o
k 2 −
2L
2
o
mkr
c) A
2 = k
2
1 +
v
2 L
2
o
k 2 −
2L
2
o
mkr
et E =
1
2
mv
2
−
k
r
⇒
2E
m
= v
2
−
2k
mr
A
2 = k
2
1 +
v
2 L
2
o
k 2 −
2kL
2
o
mk 2 r
= k
2
1 +
L
2
o
k 2
v
2
−
2k
mr
= k
2
1 +
2L
2
o
mk 2 E
On en déduit l’excentricité e en fonction de l’énergie E :
e =
A
k
⇒ e
2 =
A
2
k 2 = 1 +
2L
2
o
mk 2 E
On retrouve la classification des coniques obtenues en fonction du signe de
l’énergie :
• E > 0 alors e > 1 : hyperbole
• E = 0 alors e = 1 : parabole
• E < 0 alors e < 1 : ellipse