272
Mécanique du point
2) a)
− →
L o =
−→
OM∧m − → v ⇒
d
− →
L o
d t
=
d
−→
OM
d t
∧m − → v +
−→
OM∧
d m − → v
d t
= − → v ∧m − → v +r − → u ∧m
d − → v
d t
En utilisant la relation fondamentale de la dynamique :
d
− →
L o
d t
= − → u ∧ m
d − → v
d t
= r − → u ∧
−
k
r 2
− → u
=
− →
0 ⇒
− →
L o
est un vecteur constant.
b) À tout instant,
−→
OM et − → v sont des vecteurs perpendiculaires à un vecteur
constant
− →
L o . Donc O, M et − → v reste dans un même plan (contenant le centre
des forces O et perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o ).
c)
−→
OM = r − → u et − → v = ˙ r − → u + r ˙
u − → u u
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v = r − → u ∧ m(˙ r − → u + r ˙
u − → u u ) = mr
2 ˙
u − → u z ⇒ L o = mr
2 ˙
u
3) Le vecteur de Runge-Lenz :
− →
A = ( − → v ∧
− →
L o ) − k − → u
a)
d
− →
A
d t
=
d ( − → v ∧
− →
L o )
d t
−
d (k − → u )
d t
=
d − → v
d t
∧
− →
L o + − → v ∧
d
− →
L o
d t
− k
d − → u
d t
Le terme − → v ∧
d
− →
L o
d t
=
− →
0 (le moment cinétique
− →
L o est constant, sa dérivée est
nulle).
Le terme suivant : −k
d − → u
d t
= −k ˙
u − → u u
Le premier terme, avec la relation fondamentale de la dynamique :
d − → v
d t
=
− →
F
m
= −
k
mr 2
− → u ,
on obtient :
d − → v
d t
∧
− →
L o = −
k
mr 2
− → u ∧ mr
2 ˙
u − → u z = k ˙
u(− − → u ∧ − → u z ) = k ˙
u − → u u
Finalement :
d
− →
A
d t
= k ˙
u − → u u +
− →
0 − k ˙
u − → u u =
− →
0 et donc le vecteur est
− →
A est
constant.
Le terme − → v ∧
− →
L o est un vecteur perpendiculaire à
− →
L o et est donc dans le plan
du mouvement. Le vecteur suivant : −k − → u est aussi dans le plan du mouvement.
Le vecteur
− →
A s’écrit comme une combinaison linéaire de deux vecteurs situés
dans le plan du mouvement et donc ce vecteur est dans le plan du mouvement.
Choix axe Ox :
− →
A = A − → u x
b)
− →
A .
−→
OM = ( − → v ∧
− →
L o − k − → u ).r − → u =
˙ r − → u + r ˙
u − → u u
∧
mr
2 ˙
u − → u z
r − → u − kr
− →
A .
−→
OM =
˙ rmr
2 ˙
u
− → u ∧ − → u z
+ mr
3 ˙
u
2
− → u u ∧ − → u z
r − → u − kr
− →
A .
−→
OM =
˙ rmr
2 ˙
u
− − → u u
+ mr
3 ˙
u
2
− → u
r − → u − kr = mr
4 ˙
u
2
− kr =
(mr
2 ˙
u)
2
m
− kr
− →
A .
−→
OM =
L
2
o
m
− kr
c)
− →
A .
−→
OM = A − → u x r − → u = Ar cos u
Mécanique du point
2) a)
− →
L o =
−→
OM∧m − → v ⇒
d
− →
L o
d t
=
d
−→
OM
d t
∧m − → v +
−→
OM∧
d m − → v
d t
= − → v ∧m − → v +r − → u ∧m
d − → v
d t
En utilisant la relation fondamentale de la dynamique :
d
− →
L o
d t
= − → u ∧ m
d − → v
d t
= r − → u ∧
−
k
r 2
− → u
=
− →
0 ⇒
− →
L o
est un vecteur constant.
b) À tout instant,
−→
OM et − → v sont des vecteurs perpendiculaires à un vecteur
constant
− →
L o . Donc O, M et − → v reste dans un même plan (contenant le centre
des forces O et perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o ).
c)
−→
OM = r − → u et − → v = ˙ r − → u + r ˙
u − → u u
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v = r − → u ∧ m(˙ r − → u + r ˙
u − → u u ) = mr
2 ˙
u − → u z ⇒ L o = mr
2 ˙
u
3) Le vecteur de Runge-Lenz :
− →
A = ( − → v ∧
− →
L o ) − k − → u
a)
d
− →
A
d t
=
d ( − → v ∧
− →
L o )
d t
−
d (k − → u )
d t
=
d − → v
d t
∧
− →
L o + − → v ∧
d
− →
L o
d t
− k
d − → u
d t
Le terme − → v ∧
d
− →
L o
d t
=
− →
0 (le moment cinétique
− →
L o est constant, sa dérivée est
nulle).
Le terme suivant : −k
d − → u
d t
= −k ˙
u − → u u
Le premier terme, avec la relation fondamentale de la dynamique :
d − → v
d t
=
− →
F
m
= −
k
mr 2
− → u ,
on obtient :
d − → v
d t
∧
− →
L o = −
k
mr 2
− → u ∧ mr
2 ˙
u − → u z = k ˙
u(− − → u ∧ − → u z ) = k ˙
u − → u u
Finalement :
d
− →
A
d t
= k ˙
u − → u u +
− →
0 − k ˙
u − → u u =
− →
0 et donc le vecteur est
− →
A est
constant.
Le terme − → v ∧
− →
L o est un vecteur perpendiculaire à
− →
L o et est donc dans le plan
du mouvement. Le vecteur suivant : −k − → u est aussi dans le plan du mouvement.
Le vecteur
− →
A s’écrit comme une combinaison linéaire de deux vecteurs situés
dans le plan du mouvement et donc ce vecteur est dans le plan du mouvement.
Choix axe Ox :
− →
A = A − → u x
b)
− →
A .
−→
OM = ( − → v ∧
− →
L o − k − → u ).r − → u =
˙ r − → u + r ˙
u − → u u
∧
mr
2 ˙
u − → u z
r − → u − kr
− →
A .
−→
OM =
˙ rmr
2 ˙
u
− → u ∧ − → u z
+ mr
3 ˙
u
2
− → u u ∧ − → u z
r − → u − kr
− →
A .
−→
OM =
˙ rmr
2 ˙
u
− − → u u
+ mr
3 ˙
u
2
− → u
r − → u − kr = mr
4 ˙
u
2
− kr =
(mr
2 ˙
u)
2
m
− kr
− →
A .
−→
OM =
L
2
o
m
− kr
c)
− →
A .
−→
OM = A − → u x r − → u = Ar cos u